1 . 已知离心率为的椭圆的下顶点为，过点B（0，3）作斜率存在的直线交椭圆C于P，Q两点，连AP，AQ分别与x轴交于点M，N，记点M，N的横坐标分别为x_M，x_N.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)试判断 x_M x_N   是否为定值？若为定值，请求出该定值；若不是定值，请说明理由.

2 . 已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.
(1)求椭圆的方程；
(2)求直线的方程.

3 . 已知椭圆的离心率为，一个焦点与抛物线的焦点重合．
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线交于两点，直线与关于轴对称，证明：直线恒过一定点．

4 . 已知椭圆的离心率为，且过点．
(1)求椭圆的标准方程与焦距；
(2)若直线与椭圆交于两点，记线段AB的中点为，证明：．

5 . 已知圆的焦点为，长轴长与短轴长的比值为．
(1)求M的方程；
(2)过点F的直线l与M交于A，B两点，BC⊥x轴于点C，AD⊥x轴于点D，直线BD交直线于点E，求证：点C，A，E三点共线．

6 . 已知椭圆的左、右顶点分别为，，左、右焦点分别为，，M是椭圆上异于，的一点，且，.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)P，Q是椭圆上两点，直线PQ，OP，OQ的斜率均存在且不为0，若面积为，求.

7 . 已知椭圆过点，且离心率为．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若不过点P的直线l与椭圆C交于A、B两点，且原点O到直线l的距离为1，求的取值范围．

8 . 已知椭圆的两个焦点分别为，，过点且与轴垂直的直线交椭圆于，两点，的面积为，椭圆的离心率为．
(1)求椭圆的标准方程；
(2)已知为坐标原点，直线与轴交于点，与椭圆交于，两个不同的点，若存在实数，使得，求的取值范围．

9 . 已知椭圆：（）的短半轴长为，离心率为.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线：与椭圆相交于，两点（，不是左右顶点），且以为直径的圆过椭圆的左顶点，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标.

10 . 设为坐标原点，椭圆与，轴的正半轴分别交于，两点，且的面积为，点，（，均不与重合）是椭圆上两个动点，且当时，.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线和的斜率之积为，试探究：直线是否过定点；若是，求出该定点坐标，若不是，请说明理由.