1 . 在平面直角坐标系中，圆，，过的直线与圆交于两点，过作直线平行交于点.
（1）求点的轨迹方程；
（2）若不过坐标原点的直线与曲线相交于、两点，点，且满足，求面积最大时直线的方程.

2 . 在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，短轴的一个端点的坐标为.
（1）求椭圆的方程.
（2）点为椭圆的右焦点，过上一点的直线与直线交于点为，直线交于另一点，设与交于点.证明：
①；
②为线段的中点.

3 . 在平面直角坐标系中，已知椭圆的左顶点为，右焦点为，过原点的直线（与坐标轴不重合）与椭圆交于点、，直线、分别与轴交于点、.
（1）若，求点的横坐标；
（2）设直线、的斜率分别为、，求的值.

4 . 已知离心率为的椭圆的左顶点为，左焦点为，及点，且、、成等比数列．
（1）求椭圆的方程；
（2）斜率不为的动直线过点且与椭圆相交于、两点，记，线段上的点满足，试求（为坐标原点）面积的取值范围．

5 . 椭圆的右焦点，过点且与轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆交于、两点，为坐标原点，若，求的面积．

6 . 设、是椭圆的左、右顶点，为椭圆上异于、的一点．
（1）是椭圆的上顶点，且直线与直线垂直，求点到轴的距离；
（2）过点的直线（不过坐标原点）与椭圆交于、两点，且点在轴上方，点在轴下方，若，求直线的斜率．

7 . 已知椭圆的左焦点为，直线与圆交于，两点.

（1）若直线过点，且，求被椭圆所截得的弦的长度；
（2）若已知点在椭圆上，动点满足，请判断点与圆的位置关系，并说明理由.

8 . 设椭圆的左、右焦点分别为，左顶点为上顶点为.已知.
（1）求椭圆的离心率；
（2）设为椭圆上在第一象限内一点,射线与椭圆的另一个公共点为,满足，直线交轴于点，的面积为.
(i)求椭圆的方程.
(ii)过点作不与轴垂直的直线交椭圆于（异于点）两点，试判断的大小是否为定值，并说明理由.

9 . 已知椭圆的离心率为,过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为,过点的直线与椭圆相交于两点
(1)求椭圆的方程;
(2)设为椭圆上一点,且满足(为坐标原点),当时,求实数的取值范围.

10 . 已知椭圆经过点，其左焦点为.过点的直线交椭圆于、两点，交轴的正半轴于点.

（1）求椭圆的方程；
（2）过点且与垂直的直线交椭圆于、两点，若四边形的面积为，求直线的方程；
（3）设，，求证：为定值.