1 . 对于无穷数列，，若－…，则称是的“收缩数列”.其中，，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.
（1）若，求的前项和；
（2）证明：的“收缩数列”仍是；
（3）若，求所有满足该条件的.

2 . 已知以为首项的数列满足：
（1）当，时，求数列的通项公式；
（2）当，时，试用表示数列前100项的和；
（3）当（是正整数），，正整数时，判断数列，，，是否成等比数列？并说明理由．

3 . 定义个数的“倒均值”.
（1）若数列的前项，的“倒均值”. 求的通项公式
（2）在（1）的条件下，令，试研究数列的单调性，并给出证明.
（3）在（2）的条件下，设函数，对于数列，是否存在实数，使得当时，对任意恒成立？若存在，求出在最小的实数，若不存在，说明理由.

4 . 定义：对于任意，满足条件且（是与无关的常数）的无穷数列称为数列.
（1）若，证明：数列是数列；
（2）设数列的通项为，且数列是数列，求常数的取值范围；
（3）设数列，若数列是数列，求的取值范围.

5 . 给定数列，若满足（且），对于任意，都有，则称数列为指数数列.
（1）已知数列、的通项公式分别为，，试判断、是不是指数数列（需说明理由）；
（2）若数列满足：，，，证明：是指数数列；
（3）若是指数数列，，证明：数列中任意三项都不能构成等差数列.

6 . 对于无穷数列，若正整数，使得当时，有，则称为“不减数列”.
(1)设，均为正整数，且，甲:为“不减数列”，乙:为“不减数列”.试判断命题:“甲是乙的充分条件”的真假，并说明理由;
(2)已知函数与函数的图象关于直线对称，数列满足，，如果为“不减数列”，试求的最小值;
(3)对于（2）中的，设，且.是否存在实数使得为“不减数列”?若存在，求出的取值范围;若不存在，请说明理由.

7 . 对于数列，若存在正数p，使得对任意都成立，则称数列为“拟等比数列”．
已知，且，若数列和满足：，且，．
若，求的取值范围；
求证：数列是“拟等比数列”；
已知等差数列的首项为，公差为d，前n项和为，若，，，且是“拟等比数列”，求p的取值范围请用，d表示．

8 . 若无穷数列满足：只要（p，），必有，则称具有性质P.
（1）若具有性质P，且，，，，，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，，判断是否具有性质P，并说明理由.

9 . 设数列共有项，记该数列前项，，…，中的最大项为，该数列后项，，…，中的最小项为，（1，2，3，…，）.
（1）若数列的通项公式为，求数列的通项公式；
（2）若数列是单调数列，且满足，，求数列的通项公式；
（3）试构造一个数列，满足，其中是公差不为零的等差数列，是等比数列，使得对于任意给定的正整数，数列都是单调递增的，并说明理由.

10 . 已知是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为，第n项之后的各项的最小值记为，设.
（1）若为，是一个周期为4的数列，写出的值；
（2）设d为非负整数，证明：）的充要条件是是公差为d的等差数列．