1 . 对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.

3 . 已知数列满足，.
(1)令，求证：是等比数列；
(2)令，的前项和为，求证：.

4 . 树人中学的“希望工程”中，甲､乙两个募捐小组暑假期间走上街头分别进行了为期两周的募捐活动.两个小组第1天都募得1000元，之后甲小组继续按第1天的方法进行募捐，则从第2天起，甲小组每一天得到的捐款都比前一天少50元；乙小组采取了积极措施，从第1天募得的1000元中拿出了600元印刷宣传材料，则从第2天起，第天募得的捐款数为元.若甲小组前天募得捐款数累计为元，乙小组前天募得捐款数累计为元（需扣除印刷宣传材料的费用），则（       ）

A．

B．甲小组募得捐款为9550元

C．从第7天起，总有

D．且

5 . 某种电子玩具启动后，屏幕上的LED显示灯会随机亮起红灯或绿灯．在玩具启动前，用户可对（）赋值，且在第1次亮灯时，亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．随后若第n（）次亮起的是红灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为；若第n次亮起的是绿灯，则第n+1次亮起红灯的概率为，亮起绿灯的概率为．
(1)若输入，记该玩具启动后，前3次亮灯中亮红灯的次数为X，求X的分布列和数学期望；
(2)在玩具启动后，若某次亮灯为红灯，且亮红灯的概率在区间（，）内，则玩具会自动唱一首歌曲，否则不唱歌．现输入，则在前20次亮灯中，该玩具最多唱几次歌？

6 . 已知数列的相邻两项是关于的方程的两根，且.
（1）求证：数列是等比数列；
（2）求数列的前项和；
（3）设函数，若对任意的都成立，求的取值范围．

7 . 数列满足，，
（1）求，并求数列的通项公式；
（2）设，，，
求使的所有的值，并说明理由．