1 . 规定为不超过t的最大整数，例如，.对任意实数x，令，，进一步令.
（1）分别求和；
（2）求x的取值范围，使它同时满足，.

2 . 对于定义域为的函数，若果存在区间,同时满足下列条件：①在区间上是单调的；②当定义域是时，的值域也是.则称是函数的一个“优美区间”.
（1）证明：函数不存在“优美区间”.
（2）已知函数在上存在“优美区间”，请求出他的“优美区间”.
（3）如果是函数的一个“优美区间”，求的最大值.

3 . 已知函数f（x）＝|2x﹣3|+x+1．
（1）求函数f（x）的最小值；
（2）当x≥1时，关于x的不等式f（2^x）＜4^x+2a恒成立，求实数a的取值范围．

4 . 如果函数满足：对定义域内的所有，存在常数，，都有，那么称是“中心对称函数”，对称中心是点.
（1）证明点是函数的对称中心；
（2）已知函数（且，）的对称中心是点.
①求实数的值；
②若存在，使得在上的值域为，求实数的取值范围.

5 . 对于正整数集合，如果任意去掉其中一个元素之后，剩余的所有元素组成的集合都能分为两个交集为空集的集合，且这两个集合的所有元素之和相等，就称集合为“可分集合”.
（1）判断集合和是否是“可分集合”（不必写过程）；
（2）求证：五个元素的集合一定不是“可分集合”；
（3）若集合是“可分集合”.
①证明：为奇数；
②求集合中元素个数的最小值.

6 . 设是任意的一个实数，表示对进行四舍五入后的结果，其实质是取与最接近的整数，在距离相同时，取较大的而不取较小的整数，其函数关系常用＝表示.例如：，，，.
（1）判断函数＝（）的奇偶性，并说明理由；
（2）求方程的解集.

7 . 设a，b，c，d不全为0，给定函数f（x）＝bx²+cx+d，g（x）＝ax³+bx²+cx+d．若f（x），g（x）满足①f（x）有零点；②f（x）的零点均为g（f（x））的零点；③g（f（x））的零点均为f（x）的零点．则称f（x），g（x）为一对“K函数”．
（1）当a＝c＝d＝1，b＝0时，验证f（x），g（x）是否为一对“K函数”，并说明理由；
（2）若f（x），g（x）为任意一对“K函数”，求d的值；
（3）若a＝1，f（1）＝0，且f（x），g（x）为一对“K函数”，求c的取值范围．

8 . 已知有穷数列，，，，．若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．
（1）设，，请写出的所有可能的结果；
（2）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；
（3）设，，，，，，，，，求的可能结果，并说明理由．

9 . 设两实数不相等且均不为.若函数在时，函数值的取值区间恰为，就称区间为的一个“倒域区间”.已知函数.
（1）求函数在内的“倒域区间”；
（2）若函数在定义域内所有“倒域区间”的图象作为函数的图象，是否存在实数，使得与恰好有2个公共点?若存在，求出的取值范围：若不存在，请说明理由.

10 . 某企业开发一种新产品，现准备投入适当的广告费对产品进行促销，在一年内，预计年销量（万件）与广告费（万元）之间的函数关系为，已知生产此产品的年固定投入为万元，每生产万件此产品仍需要投入万元，若年销售额为“年生产成本的”与“年广告费的”之和，而当年产销量相等：
（1）试将年利润（万元）表示为年广告费（万元）的函数；
（2）求当年广告费投入多少万元时，企业利润最大?