1 . 设S、T是R的两个非空子集，如果函数满足：①；②对任意，，当时，恒有，那么称函数为集合S到集合T的“保序同构函数”.
（1）试写出集合到集合R的一个“保序同构函数”；
（2）求证：不存在从集合Z到集合Q的“保序同构函数”；
（3）已知是集合到集合的“保序同构函数”，求s和t的最大值.

2 . 已知有穷数列，，，，．若数列中各项都是集合的元素，则称该数列为数列．对于数列，定义如下操作过程：从中任取两项，，将的值添在的最后，然后删除，，这样得到一个项的新数列（约定：一个数也视作数列）．若还是数列，可继续实施操作过程，得到的新数列记作，，如此经过次操作后得到的新数列记作．
（1）设，，请写出的所有可能的结果；
（2）求证：对于一个项的数列操作总可以进行次；
（3）设，，，，，，，，，求的可能结果，并说明理由．

3 . 对于函数，若存在实数m，使得为R上的奇函数，则称是位差值为m的“位差奇函数”.
（1）判断函数和是否是位差奇函数，并说明理由；
（2）若是位差值为的位差奇函数，求的值；
（3）若对于任意，都不是位差值为m的位差奇函数，求实数t的取值范围.

4 . 设是定义在上的函数，若存在，使得在单调递增，在上单调递减，则称为上的单峰函数，为峰点，包含峰点的区间称为含峰区间，其含峰区间的长度为：．
（1）判断下列函数中，哪些是“上的单峰函数”？若是，指出峰点；若不是，说出原因；；
（2）若函数是上的单峰函数，求实数的取值范围；
（3）若函数是区间上的单峰函数，证明：对于任意的，若，则为含峰区间；若，则为含峰区间；试问当满足何种条件时，所确定的含峰区间的长度不大于0.6．

5 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的“局部对称点”.
（1），其中，试判断是否有“局部对称点”？若有，请求出该点；若没有，请说明理由；
（2）若函数在区间内有“局部对称点”，求实数m的取值范围；
（3）若函数在R上有“局部对称点”，求实数m的取值范围.

6 . 如果存在常数a，使得数列{a_n}满足：若x是数列{a_n}中的一项，则a-x也是数列{a_n}中的一项，称数列{a_n}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：2，3，6，m（m＞6）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列{b_n}的项数是n₀（n₀≥3），所有项之和是B，求证：数列{b_n}是“兑换数列”，并用n₀和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{c_n}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论，并说明理由．

7 . 对于无穷数列，“若存在，必有”，则称数列具有性质.
（1）若数列满足，判断数列是否具有性质？是否具有性质？
（2）对于无穷数列，设，求证：若数列具有性质，则必为有限集；
（3）已知是各项均为正整数的数列，且既具有性质，又具有性质，是否存在正整数，，使得，，，…，，…成等差数列.若存在，请加以证明；若不存在，说明理由.

8 . 定义符号函数，已知函数.
（1）已知，求实数的取值集合；
（2）当时，在区间上有唯一零点，求的取值集合；
（3）已知在上的最小值为，求正实数的取值集合；

9 . 对于给定的正整数，若数列满足对任意正整数恒成立，则称数列是数列，若正数项数列，满足：对任意正整数恒成立，则称是数列；
（1）已知正数项数列是数列，且前五项分别为、、、、，求的值；
（2）若为常数，且是数列，求的最小值；
（3）对于下列两种情形，只要选作一种，满分分别是 ①分，②分，若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答记分.
① 证明：数列是等差数列的充要条件为“既是数列，又是数列”；
②证明：正数项数列是等比数列的充要条件为“数列既是数列，又是数列”.

10 . 按照如下规则构造数表：第一行是：2；第二行是：；即3，5，第三行是：即4，6，6，8；（即从第二行起将上一行的数的每一项各项加1写出，再各项加3写出）
2
3,5
4,6,6,8
5,7,7,9,7,9,9,11
……………………………………
若第行所有的项的和为．
（1）求；
（2）试求与的递推关系，并据此求出数列的通项公式；
（3）设，求和的值．