1 . 已知函数
.
(1)证明:
在区间
上单调递减;
(2)试比较
的大小关系,并按从大到小的顺序进行排列.
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(1)证明:
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(2)试比较
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2011·北京丰台·一模
名校
解题方法
2 . 为喜迎马年新春佳节,怀化某商场在正月初六进行抽奖促销活动,当日在该店消费满500元的顾客可参加抽奖.抽奖箱中有大小完全相同的4个小球,分别标有字“马”“上”“有”“钱”.顾客从中任意取出1个球,记下上面的字后放回箱中,再从中任取1个球,重复以上操作,最多取4次,并规定若取出“钱”字球,则停止取球.获奖规则如下:依次取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球为一等奖;不分顺序取到标有“马”“上”“有”“钱”字的球,为二等奖;取到的4个球中有标有“马”“上”“有”三个字的球为三等奖.
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率;
(2)设摸球次数为
,求
的分布列和数学期望
(1)求分别获得一、二、三等奖的概率;
(2)设摸球次数为
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2023-02-08更新
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456次组卷
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9卷引用:2011届北京市丰台区高三下学期统一练习数学理卷
(已下线)2011届北京市丰台区高三下学期统一练习数学理卷(已下线)2012届浙江省温州市高三八校联考理科数学(已下线)2014届江西省鹰潭市高三第二次模拟考试理科数学试卷(已下线)2013届中国人民大学附属中学高考冲刺五理科数学试卷2020届北京市首都师范大学附属中学高三北京学校联考数学试题(已下线)数学-6月大数据精选模拟卷04(山东卷)(满分冲刺篇)(已下线)数学-6月大数据精选模拟卷03(北京卷)(满分冲刺篇)(已下线)专题11-2 概率与分布列大题归类-1(已下线)专题9-1 概率与统计及分布列归类(理)(讲+练)-1
名校
3 . 扑克牌游戏,用黑桃♠、红桃♥的各13张牌,合计26张牌玩. A代表数字1,J代表数字11,Q代表数字12,K代表数字13,其它牌代表数字与牌面数字一致.
(1)游戏规则(Ⅰ)如下:
分庄家与玩家两方,正式发牌前将26张牌充分洗乱,并背面朝上.第一轮发牌:双方依次各发两张牌,并且将第一张牌亮出,第二张牌背朝上.由玩家根据自己牌情况和比大小规则,决定是否要发第二轮牌(即从余下的22张牌中,随机给双方各发一张牌). 若玩家决定不要第三张牌,则庄家和玩家同时亮出第二张牌比大小;若玩家决定要第三张牌,则发完第三张牌后,双方同时亮出余下两张牌,共三张牌比大小.
两张或三张牌比大小规则,是在相同的发牌规则之下,由不同牌型出现的概率决定的.概率小的牌型大.下表中的比两张牌4种牌型依次出现概率记为P2i,比三张牌4种牌型依次出现概率记为P3i,
.请对下表中两类牌数,各4种牌型的大小比较规则作出基于数据分析依据:
①从
中,任选其中一个计算:我选择 ,其值为 .
②发3张牌时四种牌型,从中任选一种,判断其从大到小排位顺序:我选择的牌型名称为 ,从大到小排位顺序为第 大.
③其它牌型均称为杂牌,且规定杂牌均小于上述4种牌型,同种牌型(包括杂牌)之间同等大小.若当双方牌型同等大小时,规定庄家赢,不同牌型时,大者赢.第一轮发下两张牌时,玩家手里两张牌为2♥4♥,庄家明牌为A♠,上述规则之下,玩家第一轮赢的概率为 .
(2)游戏规则(II):分甲、乙两方,每方分别执黑桃♠或红桃♥的A、2、3、4、5、6同色六张牌.出牌前,每人可将自己牌充分洗序.此后每轮甲乙同时各随机出牌一张,若两张牌点数相同,则游戏结束,若不相同,则继续游戏.重复上述过程,直至出现双方牌同点数或手中的牌出完为止.求:双方牌同点数方式结束游戏的概率.
(1)游戏规则(Ⅰ)如下:
分庄家与玩家两方,正式发牌前将26张牌充分洗乱,并背面朝上.第一轮发牌:双方依次各发两张牌,并且将第一张牌亮出,第二张牌背朝上.由玩家根据自己牌情况和比大小规则,决定是否要发第二轮牌(即从余下的22张牌中,随机给双方各发一张牌). 若玩家决定不要第三张牌,则庄家和玩家同时亮出第二张牌比大小;若玩家决定要第三张牌,则发完第三张牌后,双方同时亮出余下两张牌,共三张牌比大小.
两张或三张牌比大小规则,是在相同的发牌规则之下,由不同牌型出现的概率决定的.概率小的牌型大.下表中的比两张牌4种牌型依次出现概率记为P2i,比三张牌4种牌型依次出现概率记为P3i,
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牌型牌数 | 对子 (有两张同样数字的牌) | 顺子 (所有牌数字连续) | 同花 (所有牌花色相同数字不均连) | 同花顺 (所有牌花色相同且数字连续) |
2 | P21:A♠A♥ | P22:A♠2♥ | P23:A♠7♠ | P24:A♠2♠ |
3 | P31:A♠A♥3♠ | P32:A♠2♥3♥ | P33:A♥7♥K♥ | P34:A♥2♥3♥ |
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②发3张牌时四种牌型,从中任选一种,判断其从大到小排位顺序:我选择的牌型名称为 ,从大到小排位顺序为第 大.
③其它牌型均称为杂牌,且规定杂牌均小于上述4种牌型,同种牌型(包括杂牌)之间同等大小.若当双方牌型同等大小时,规定庄家赢,不同牌型时,大者赢.第一轮发下两张牌时,玩家手里两张牌为2♥4♥,庄家明牌为A♠,上述规则之下,玩家第一轮赢的概率为 .
(2)游戏规则(II):分甲、乙两方,每方分别执黑桃♠或红桃♥的A、2、3、4、5、6同色六张牌.出牌前,每人可将自己牌充分洗序.此后每轮甲乙同时各随机出牌一张,若两张牌点数相同,则游戏结束,若不相同,则继续游戏.重复上述过程,直至出现双方牌同点数或手中的牌出完为止.求:双方牌同点数方式结束游戏的概率.
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4 . 一 测量学校内、外建筑物的高度项目的过程性评价
[目的] 给出过程性评价,体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、归纳总结,发现问题、积累经验、提升素养.
[评价过程] 在每一个学生都完成“测量报告”后,安排交流讲评活动.安排讲评的报告应当有所侧重.例如,测量结果准确,测量过程清晰,测量方法有创意,误差处理得当,报告书写认真等;或误差明显而学生自己没有察觉,测量过程中构建的模型有待商榷等.事实表明,这种形式的交流讲评,往往是数学建模过程中学生收获最大的环节.
附件:某个小组的研究报告的展示片段摘录.
测量不可及“理想大厦”的方法
1.两次测角法
(1)测量并记录测量工具距离地面h m;
(2)用大量角器,将一边对准大厦的顶部,计算并记录仰角α;
(3)后退a m,重复(2)中的操作,计算并记录仰角β;
(4)楼高x的计算公式为:
x=
+h,
其中α,β,a,h如图所示.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/21/09121676-7851-4c76-8b7b-f5f9d77cb2f6.png?resizew=235)
两次测角法示意图
2.镜面反射法
(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量人与镜子的距离;
(2)将镜子后移a m,重复(1)中的操作;
(3)楼高x的计算公式为x=
,其中a1,a2是人与镜子的距离,a是两次观测时镜面之间的距离,h是人的“眼高”,如图所示.根据光的反射原理,利用相似三角形的性质联立方程组,可以得到这个公式.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/21/2e096e6d-937c-4329-b1f9-31b65d18d8d7.png?resizew=235)
镜面反射法示意图
实际测量数据和计算结果,测量误差简要分析.
(1)两次测角法
实际测量数据:
后退距离为25 m,人的“眼高”为1.5 m,计算可得理想大厦的高度约为71.5 m,结果与期望值(70 m~80 m)相差不大.误差的原因是铅笔在纸板上画出度数时不够精确.减小误差的方法是几个人分别测量高度及仰角,再求平均值,误差就能更小.
(2)镜面反射法
实际测量数据:
镜子的相对距离10 m,人的“眼高”为1.52 m.计算可得理想大厦的高度约为217 m,结果与期望值相差较大.
产生误差有以下几点原因:
镜面放置不能保持水平;
两次放镜子的相对距离太短,容易造成误差;
人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点;
人体不一定在两次测量时保证高度不变.
综上所述,要做到没有误差很难,但可以通过某些方法使误差更小,我们准备用更多的测量方法找出理想的结果.
对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和同学评价均为“优”,因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法;对测量结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大.
对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是,教师对测量过程的部分项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进一步分析产生误差的主要原因,包括:
(1)测量工具问题.两次测角法的同学,自制量角工具比较粗糙,角度的刻度误差较大;镜面反射法的同学,选用的镜子尺寸太大,造成镜间距测量有较大误差.
(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的,因为没有较长的卷尺测量距离,有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小,两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小,最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后,他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a,使得测量精度得到较大提高.
(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”,反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度,如照片所示.
在结题交流过程中,教师通过测量的现场照片,引导学生发现问题,让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到,书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式.
测量现场的照片和观察说明:
[分析] 建模活动的评价要关注结果,更要关注过程.
对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%,主要由教师作评价.评价依据是现场观察和学生上交的测量报告,关注的主要评价点有:
(1)测量模型是否有效;
(2)计算过程是否清晰准确,测量结果是否可以接受;
(3)测量工具是否合理、有效;
(4)有创意的测量方法(可获加分);
(5)能减少测量误差的思考和做法(可获加分);
(6)有数据处理的意识和做法(可获加分);
……
非数学的评价可以占总评价的40%,主要评价点有:
(1)每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态;
(2)测量过程中解决困难的机智和办法;
(3)讨论发言、成果汇报中的表现等.
非数学的评价主要是在同学之间进行,可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩,并写出评价的简单理由.
二 黄金数的应用
班 级:高三( )班
指导老师:
组 长:
组 员:
研究背景:黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.我们在数学、物理、化学、生物及美学中都存在很多的最好、最优化的问题,如何实现最优化从而达到我们的要求,使得我们在各方面都能取得很好的成绩.
研究目的和意义:
1.培养学生对数学的学习兴趣;
2.提高学习的查找、分析、集中能力;
3.拓宽学生的知识面,感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神;
4.通过集体配合较好完成对本课题的研究,增加同学间团结合作的精神.
研究分工:搜集整理资料;撰写研究方案;写开题报告;撰写结题报告.
研究步骤:查阅资料、实际调查、计算、总结.
预期成果:在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.
研究结果:
一、黄金数的发展“历史”
黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的.一天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引,便停下来仔细聆听,似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊,拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线,想将它分为两段.怎样分才最好呢?经过反复比较,他最后确定1∶0.618的比例截断最优美.
0.618在数学中叫黄金比值,又称黄金数.这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称.其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比,如五角星等.
代数上也有许多黄金数的知识,其中最有名的裴波那契数列,也就是1,1,3,5,8,13,21,34,55,89…,或许大家要问这里面没有黄金数啊,其实如果用前一项比后一项,它的比值将会在0.618上下波动,如果你有兴趣还可以算下去,最后你还会得到一个数,一个无限接近于黄金数的比值,不信你可以试一试.
二、黄金数的广泛应用
1.艺术中的黄金数
“0.618”,这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中,因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体.在美术史上曾经把它作为经典法则来应用.有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著.例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像,都有意无意地用上了这个比值.
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系.例如照相机的片窗比例:135相机就是24×36即2∶3的比例,这是很典型的.只要我们翻开影集看一看,就会发现,大多数的画幅形式,都是近似这个比例.
2.饮食、生活作息中的黄金数
“黄金分割”的比值为0.618,它不仅是美学造型方面常用的一个比值,也是一个饮食参数.日本人的平均寿命多年来稳居世界首位,合理的膳食是一个主要因素.在他们的膳食中,谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值.
医学专家分析后还发现,饭吃六七成饱的人几乎不生胃病.
还有喝5杯水.人体内的水分占体重的61.8%,不计出汗,每天失去和需要补充的水达2 500毫升.其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升,大约占61.8%.其余1 000毫升需要补充,才能保持水平衡.因此,每人一天要喝5杯水.
一天合理的生活作息也应该符合黄金分割,24小时中,2/3时间是工作与生活,1/3时间是休息与睡眠;在动与静的关系上,究竟是“生命在于运动”,还是“生命在于静养”?从辩证观和大量的生活实践证明,动与静的关系同一天休息与工作的比例一样,动四分,静六分,才是最佳的保健之道.掌握与运用好黄金分割,可使人体节约能耗,延缓衰老,提高生命质量.
3.植物中的黄金数
植物叶子,千姿百态,生机盎然,给大自然带来了美丽的绿色世界.
尽管叶子形状随种而异,但它在茎上的排列顺序(称为叶序),却是极有规律的.你从植物茎的顶端向下看,经细心观察,发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137.5°.如果每层叶子只画一片来代表,第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°,以后二到三层,三到四层,四到五层……两叶之间都成这个角度数.植物学家经过计算表明:这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的.叶子的排布,多么精巧叶子间的137.5°中,藏有什么“密码”呢?我们知道,一周是360°,360°-137.5°=222.5°,137.5°∶222.5°≈0.618.瞧,这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中,竟然隐藏着0.618.
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长,也是符合这个规律的.
4.建筑中的黄金数
世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”.遍布全球的众多优秀近现代建筑,尽管其风格各异,但在构图布局设计方面,都有意无意地运用了黄金分割的法则,给人以整体上的和谐与悦目之美.
举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子,神庙外部呈长方形,长228英尺,宽101英尺,有46根多立克式环列圆柱构成柱廊.
文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618,能使平直单调的塔身变得丰富多彩;在现代建筑中,一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理,在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物,则可使整个楼群显得雄伟雅致.如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553.33米),都是根据黄金分割的原则来建造的.上海的东方明珠广播电视塔,塔身高达468米.为了美化塔身,设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱,既可供游人登高俯瞰地面景色,又使笔直的塔身有了曲线变化.更妙的是,上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方,即从上球体到塔顶的距离,同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排,使塔体挺拔秀美,具有审美效果.
三、开展生活中实际调查的研究及成果
经过我们的讨论,我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数.
1.下面就是我们实地测量结果的统计表格,从中我们发现其实黄金数就在我们的身边.只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近!在生活中,只要我们善于观察,善于思考,将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣,生活中处处都应用着数学的知识.
2.在实地调查、相关问题的访问、同学们之间互相交流讨论后,我们从中获得了不少的生活小知识.
如(1)报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳?
答:根据黄金分割,应站在舞台宽度的0.618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播得最好.
(2)假如您打算买台25寸的国产彩色电视机,要想物美价廉,最佳价位是多少?
答:如上所述,要想确定最佳价格,我们得知道同一品牌的最高价与最低价,然后根据公式:(最高价位-最低价位)×0.618+最低价位=最佳价位.
以下是我们的调查结果
(3)请问在夏季,人们为什么格外留恋春天的感觉?
答:人在春季感到舒畅,那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间,而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处:人的正常体温37摄氏度与0.618的乘积为22.8摄氏度,人在这一环境温度中,机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态.
四、问题与建设
在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.
在研究中,当然也会遇到各种无法预料的问题.刚开始,大家对于黄金数的知识都很缺乏,只是带着一份好奇去探询其中的奥秘,而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏,网上资料又是十分杂乱,对于信息需要筛选,留下对课题研究有用的部分.在学习大量资料以后,我们渐渐了解了黄金数,我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用!既然知道了,我们就更应该在生活中使用黄金数,美化生活.
[目的] 给出过程性评价,体现如何让学生在交流过程中展现个性、学会交流、归纳总结,发现问题、积累经验、提升素养.
[评价过程] 在每一个学生都完成“测量报告”后,安排交流讲评活动.安排讲评的报告应当有所侧重.例如,测量结果准确,测量过程清晰,测量方法有创意,误差处理得当,报告书写认真等;或误差明显而学生自己没有察觉,测量过程中构建的模型有待商榷等.事实表明,这种形式的交流讲评,往往是数学建模过程中学生收获最大的环节.
附件:某个小组的研究报告的展示片段摘录.
测量不可及“理想大厦”的方法
1.两次测角法
(1)测量并记录测量工具距离地面h m;
(2)用大量角器,将一边对准大厦的顶部,计算并记录仰角α;
(3)后退a m,重复(2)中的操作,计算并记录仰角β;
(4)楼高x的计算公式为:
x=
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/12/1/2604904160575488/2611069592322048/STEM/8dd0244a1ada4a9dbcb988c9557290c7.png?resizew=70)
其中α,β,a,h如图所示.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/21/09121676-7851-4c76-8b7b-f5f9d77cb2f6.png?resizew=235)
两次测角法示意图
2.镜面反射法
(1)将镜子(平面镜)置于平地上,人后退至从镜中能够看到房顶的位置,测量人与镜子的距离;
(2)将镜子后移a m,重复(1)中的操作;
(3)楼高x的计算公式为x=
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/12/1/2604904160575488/2611069592322048/STEM/135cdd0a5bc14ce093eec0b6166faafc.png?resizew=38)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/21/2e096e6d-937c-4329-b1f9-31b65d18d8d7.png?resizew=235)
镜面反射法示意图
实际测量数据和计算结果,测量误差简要分析.
(1)两次测角法
实际测量数据:
第一次 | 第二次 | |
仰角 | 67° | 52° |
(2)镜面反射法
实际测量数据:
第一次 | 第二次 | |
人与镜子的距离 | 3.84 m | 3.91 m |
产生误差有以下几点原因:
镜面放置不能保持水平;
两次放镜子的相对距离太短,容易造成误差;
人眼看镜内物像时,两次不一定都看准镜面上的同一个点;
人体不一定在两次测量时保证高度不变.
综上所述,要做到没有误差很难,但可以通过某些方法使误差更小,我们准备用更多的测量方法找出理想的结果.
对上面的测量报告,教师和同学给出评价.例如,对测量方法,教师和同学评价均为“优”,因为对不可及的测量对象选取了两种可行的测量方法;对测量结果,教师评价为“良”,同学评价为“中”,因为两种方法得到的结果相差较大.
对测量结果的评价,教师和同学产生差异的原因是,教师对测量过程的部分项目实施加分,包括对自制测量仰角的工具等因素作了误差分析;同学则进一步分析产生误差的主要原因,包括:
(1)测量工具问题.两次测角法的同学,自制量角工具比较粗糙,角度的刻度误差较大;镜面反射法的同学,选用的镜子尺寸太大,造成镜间距测量有较大误差.
(2)间距差的问题.这是一个普遍的问题.间距差a值是测量者自己选定的,因为没有较长的卷尺测量距离,有的同学甚至选间距差a是1 m.由于间距太小,两次测量的角度差或者人与镜的距离差太小,最终导致计算结果产生巨大误差.当学生意识到了这个问题后,他们利用运动场100 m跑道的自然长度作为间距差a,使得测量精度得到较大提高.
(3)不少学生用自己的身高代替“眼高”,反映了学生没有很好地理解测量过程中的“眼高”应当是测量的高度,如照片所示.
在结题交流过程中,教师通过测量的现场照片,引导学生发现问题,让学生分析测量误差产生的原因.学生们在活动中意识到,书本知识和实践能力的联系与转化是有效的学习方式.
测量现场的照片和观察说明:
照片 | 说明 |
![]() | 测量角的工具(量角器)太小,造成仰角的测量误差很大. 用腕尺法测量时,腕尺应与地面垂直,手臂水平,否则就没有相似的直角三角形. 用镜子反射法时,要保持镜面水平,否则入射三角形和反射三角形就不相似. |
![]() | 测量仰角的工具好:把一个量角器放在复印机上放大4倍复印.在中心处绑上一个铅垂,这样测量视线和铅垂线之间的夹角可以在图上直接读出,这个角是待测仰角的余角. |
![]() | 测量工具好:用自行车来测距离,解决了皮尺长度不够的问题. |
对测量方法和结果的数学评价可以占总评价的60%,主要由教师作评价.评价依据是现场观察和学生上交的测量报告,关注的主要评价点有:
(1)测量模型是否有效;
(2)计算过程是否清晰准确,测量结果是否可以接受;
(3)测量工具是否合理、有效;
(4)有创意的测量方法(可获加分);
(5)能减少测量误差的思考和做法(可获加分);
(6)有数据处理的意识和做法(可获加分);
……
非数学的评价可以占总评价的40%,主要评价点有:
(1)每一名成员在小组测量和计算过程中的工作状态;
(2)测量过程中解决困难的机智和办法;
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/2020/12/1/2604904160575488/2611069592322048/STEM/a485b2c249f74c058f9e229565b0d80c.png?resizew=27)
非数学的评价主要是在同学之间进行,可以要求学生给出本小组以外其他汇报小组的成绩,并写出评价的简单理由.
二 黄金数的应用
班 级:高三( )班
指导老师:
组 长:
组 员:
研究背景:黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.我们在数学、物理、化学、生物及美学中都存在很多的最好、最优化的问题,如何实现最优化从而达到我们的要求,使得我们在各方面都能取得很好的成绩.
研究目的和意义:
1.培养学生对数学的学习兴趣;
2.提高学习的查找、分析、集中能力;
3.拓宽学生的知识面,感受古代数学家高超的证题思想和刻苦钻研的精神;
4.通过集体配合较好完成对本课题的研究,增加同学间团结合作的精神.
研究分工:搜集整理资料;撰写研究方案;写开题报告;撰写结题报告.
研究步骤:查阅资料、实际调查、计算、总结.
预期成果:在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.
研究结果:
一、黄金数的发展“历史”
黄金数是公元前六世纪古希腊数学家毕达哥拉斯所发现的.一天,毕达哥拉斯从一家铁匠铺路过,被铺子中那有节奏的叮叮当当的打铁声所吸引,便停下来仔细聆听,似乎这声音中隐匿着什么秘密.他走进作坊,拿出一把尺量了一下铁锤和铁砧的尺寸,发现它们之间存在着一种十分和谐的关系.回到家里,毕达哥拉斯拿出一根线,想将它分为两段.怎样分才最好呢?经过反复比较,他最后确定1∶0.618的比例截断最优美.
0.618在数学中叫黄金比值,又称黄金数.这是意大利著名画家达·芬奇给它的美称.其实数学上有许多几何图形蕴涵了黄金比,如五角星等.
代数上也有许多黄金数的知识,其中最有名的裴波那契数列,也就是1,1,3,5,8,13,21,34,55,89…,或许大家要问这里面没有黄金数啊,其实如果用前一项比后一项,它的比值将会在0.618上下波动,如果你有兴趣还可以算下去,最后你还会得到一个数,一个无限接近于黄金数的比值,不信你可以试一试.
二、黄金数的广泛应用
1.艺术中的黄金数
“0.618”,这个比值因具有美学价值而被古希腊美学家运用到造型艺术中,因为凡符合黄金分割律的形体总是最美的形体.在美术史上曾经把它作为经典法则来应用.有许多美术家运用它创造了不少不朽的名著.例如达·芬奇的《蒙娜丽莎》、拉斐尔笔下温和俊秀的圣母像,都有意无意地用上了这个比值.
黄金分割对摄影画面构图可以说有着自然联系.例如照相机的片窗比例:135相机就是24×36即2∶3的比例,这是很典型的.只要我们翻开影集看一看,就会发现,大多数的画幅形式,都是近似这个比例.
2.饮食、生活作息中的黄金数
“黄金分割”的比值为0.618,它不仅是美学造型方面常用的一个比值,也是一个饮食参数.日本人的平均寿命多年来稳居世界首位,合理的膳食是一个主要因素.在他们的膳食中,谷物、素菜、优质蛋白、碱性食物所占的比例基本上达到了黄金分割的比值.
医学专家分析后还发现,饭吃六七成饱的人几乎不生胃病.
还有喝5杯水.人体内的水分占体重的61.8%,不计出汗,每天失去和需要补充的水达2 500毫升.其中半固体食物供给的水和人体内部合成的水约1 500毫升,大约占61.8%.其余1 000毫升需要补充,才能保持水平衡.因此,每人一天要喝5杯水.
一天合理的生活作息也应该符合黄金分割,24小时中,2/3时间是工作与生活,1/3时间是休息与睡眠;在动与静的关系上,究竟是“生命在于运动”,还是“生命在于静养”?从辩证观和大量的生活实践证明,动与静的关系同一天休息与工作的比例一样,动四分,静六分,才是最佳的保健之道.掌握与运用好黄金分割,可使人体节约能耗,延缓衰老,提高生命质量.
3.植物中的黄金数
植物叶子,千姿百态,生机盎然,给大自然带来了美丽的绿色世界.
尽管叶子形状随种而异,但它在茎上的排列顺序(称为叶序),却是极有规律的.你从植物茎的顶端向下看,经细心观察,发现上下层中相邻的两片叶子之间约为137.5°.如果每层叶子只画一片来代表,第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是137.5°,以后二到三层,三到四层,四到五层……两叶之间都成这个角度数.植物学家经过计算表明:这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的.叶子的排布,多么精巧叶子间的137.5°中,藏有什么“密码”呢?我们知道,一周是360°,360°-137.5°=222.5°,137.5°∶222.5°≈0.618.瞧,这就是“密码”!叶子的精巧而神奇的排布中,竟然隐藏着0.618.
有些植物的花瓣及主干上枝条的生长,也是符合这个规律的.
4.建筑中的黄金数
世界上最有名的建筑物中几乎都包含“黄金分割比”.遍布全球的众多优秀近现代建筑,尽管其风格各异,但在构图布局设计方面,都有意无意地运用了黄金分割的法则,给人以整体上的和谐与悦目之美.
举世闻名的巴特农神庙也是这样一个例子,神庙外部呈长方形,长228英尺,宽101英尺,有46根多立克式环列圆柱构成柱廊.
文明古国埃及的金字塔,形似方锥,大小各异.但这些金字塔底面的边长与高之比都接近于0.618,能使平直单调的塔身变得丰富多彩;在现代建筑中,一些摩天建筑中使用“黄金分割点”进行处理,在这类高层建筑物的黄金分割处布置腰线或装饰物,则可使整个楼群显得雄伟雅致.如举世闻名的法国巴黎埃菲尔铁塔、当今世界最高建筑之一的加拿大多伦多电视塔(553.33米),都是根据黄金分割的原则来建造的.上海的东方明珠广播电视塔,塔身高达468米.为了美化塔身,设计师巧妙地在上面装置了晶莹耀眼的上球体、下球体和太空舱,既可供游人登高俯瞰地面景色,又使笔直的塔身有了曲线变化.更妙的是,上球体所选的位置在塔身总高度5∶8的地方,即从上球体到塔顶的距离,同上球体到地面的距离大约是5∶8这一符合黄金分割之比的安排,使塔体挺拔秀美,具有审美效果.
三、开展生活中实际调查的研究及成果
经过我们的讨论,我们觉得应该自己去寻找生活中的黄金数.
1.下面就是我们实地测量结果的统计表格,从中我们发现其实黄金数就在我们的身边.只要稍微留心一下便可发现它离我们的生活有多近!在生活中,只要我们善于观察,善于思考,将所学的知识与生活结合起来将会感到数学的乐趣,生活中处处都应用着数学的知识.
物品 | 宽(cm) | 长(cm) | 比值 |
教室墙体砖块 | 18 | 29 | 0.621 |
一片叶子 | 0.9 | 104 | 0.6428 |
学生 | 92 | 150 | 0.613 |
安中学生证 | 6.1 | 10 | 0.61 |
安中校园雕像 | 51 | 83 | 0.614 |
安中课桌 | 40 | 65 | 0.615 |
如(1)报幕员应站在舞台的什么地方报幕最佳?
答:根据黄金分割,应站在舞台宽度的0.618处以站在舞台长度的黄金分割点的位置最美观,声音传播得最好.
(2)假如您打算买台25寸的国产彩色电视机,要想物美价廉,最佳价位是多少?
答:如上所述,要想确定最佳价格,我们得知道同一品牌的最高价与最低价,然后根据公式:(最高价位-最低价位)×0.618+最低价位=最佳价位.
以下是我们的调查结果
名牌 | 高档的价格(元) | 低档的价格(元) | 最佳的价格(元) |
长虹彩电 | 1 350 | 1 280 | 1320 |
创维彩电 | 1 295 | 1100 | 1 221 |
答:人在春季感到舒畅,那是因为这时的环境温度正好在22至24摄氏度之间,而这种气温与人的正常体温37摄氏度正呈现微妙之处:人的正常体温37摄氏度与0.618的乘积为22.8摄氏度,人在这一环境温度中,机体的新陈代谢、生理活动均处于最佳状态.
四、问题与建设
在这次研究性学习中,我们组成员互相合作,共同完成了这一课题研究.从中我们了解到黄金数不仅仅是那简简单单的一串数字,它在美术、建筑甚至是人的饮食都可以起到作用.那些世界建筑大师设计的作品中常常会用到黄金数的知识.
在研究中,当然也会遇到各种无法预料的问题.刚开始,大家对于黄金数的知识都很缺乏,只是带着一份好奇去探询其中的奥秘,而且黄金数的资料学校图书馆比较缺乏,网上资料又是十分杂乱,对于信息需要筛选,留下对课题研究有用的部分.在学习大量资料以后,我们渐渐了解了黄金数,我们惊奇地发现小小的“黄金数”竟然有这么多神奇的应用!既然知道了,我们就更应该在生活中使用黄金数,美化生活.
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5 . 甲、乙、丙三人参加竞答游戏,一轮三个题目,每人回答一题为体现公平,制定如下规则:
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙;第二轮回答顺序为乙、丙、甲;第三轮回答顺序为丙,甲、乙;第四轮回答顺序为甲、乙、丙;…,后面按此规律依次向下进行;
②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出.
已知,每次甲回答正确的概率为
,乙回答正确的概率为
,丙回答正确的概率为
,三个人回答每个问题相互独立.
(1)求一轮中三人全回答正确的概率;
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率;
(3)记
为甲在第
轮胜出的概率,
为乙在第
轮胜出的概率,求
与
,并比较
与
的大小.
①第一轮回答顺序为甲、乙、丙;第二轮回答顺序为乙、丙、甲;第三轮回答顺序为丙,甲、乙;第四轮回答顺序为甲、乙、丙;…,后面按此规律依次向下进行;
②当一人回答不正确时,竞答结束,最后一个回答正确的人胜出.
已知,每次甲回答正确的概率为
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(1)求一轮中三人全回答正确的概率;
(2)分别求甲在第一轮、第二轮、第三轮胜出的概率;
(3)记
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2020-07-13更新
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1463次组卷
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4卷引用:黑龙江省大庆第一中学2020届高三第三次模拟数学(理)试题
黑龙江省大庆第一中学2020届高三第三次模拟数学(理)试题黑龙江省大庆一中2020届高三高考数学(理科)三模试题(已下线)考点37 独立事件与独立重复试验(练习)-2021年高考数学复习一轮复习笔记2021届高三高考必杀技之概率统计专练
解题方法
6 . 已知
,试确定
,
,
,
的大小顺序并说明理由.
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名校
解题方法
7 . 小蔡参加高二1班“美淘街”举办的幸运抽奖活动,活动规则如下:盒子里装有六个大小相同的小球,分别标有数字1、2、3、4、5、6,小蔡需从盒子里随机不放回地抽取3次,每次抽取1个小球,按抽取顺序分别作为一个三位数的百位、十位与个位.
(1)一共能组成多少个不同的三位数?
(2)若组成的三位数是大于500的偶数,则可以获奖,求小蔡获奖的概率.
(1)一共能组成多少个不同的三位数?
(2)若组成的三位数是大于500的偶数,则可以获奖,求小蔡获奖的概率.
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名校
8 . 已知等比数列
的首项
,数列
前
项和记为
,前
项积记为
.
(1) 若
,求等比数列
的公比
;
(2) 在(1)的条件下,判断
与
的大小;并求
为何值时,
取得最大值;
(3) 在(1)的条件下,证明:若数列
中的任意相邻三项按从小到大排列,则总可以使其成等差数列;若所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次记为
,则数列
为等比数列.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/08eb71ecf8d733b6932f4680874dbbf3.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1ae9a3b0b7aeb1545b65d91aa371b3c.png)
(1) 若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eafa9c1774dfbd599d5871ae4efb585c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/63d471926f7b27322d90c82b9ce21d3d.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9aa8a716a31b0f51b70fdf9bdb257909.png)
(2) 在(1)的条件下,判断
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/49c991692d281ea8c2fda692113809f2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7f99eb2934ccfb01ea9041053350190f.png)
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(3) 在(1)的条件下,证明:若数列
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2010高一·河南·竞赛
9 . (必修3)袋中装有6个形状、大小完全相同的球,其中黑球2个、白球2个、红球2个.规定取出一个黑球记0分,取出一个白球记1分,取出一个红球记2分;在抽取这些球的时候,谁也无法看到球的颜色,首先由甲取出3个球,并不再将它们放回原袋中,然后由乙取出剩余的3个球.规定取出球的总积分多者获胜.
(1)求甲、乙成平局的概率;
(2)如果可以选择先后取球的顺序,你会先取还是后取,为什么?
(1)求甲、乙成平局的概率;
(2)如果可以选择先后取球的顺序,你会先取还是后取,为什么?
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2018-12-25更新
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155次组卷
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3卷引用:2010年全国高中数学联赛河南省预赛(高一)试题
10 . 如图,在多面体
中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E,F两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c,d与a,b,且a>c,b>d,两底面间的距离为h.
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/12/ec9a9a6d-8a31-4c5b-a286-a510f114a143.png?resizew=242)
(1)求侧面
与底面
所成二面角的大小;
(2)证明:
;
(3)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式
来计算,已知它的体积公式是
,试判断
与V的大小关系,并加以证明.
注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6e09725691ee7851f54c0dee86b2bf55.png)
![](https://img.xkw.com/dksih/QBM/editorImg/2022/11/12/ec9a9a6d-8a31-4c5b-a286-a510f114a143.png?resizew=242)
(1)求侧面
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ab3e0dba5705e1d749cfb21ebbb2ed93.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/411b38a18046fea8e9fab1f9f9b80a5f.png)
(2)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/57f67eaf0a9ead191ae26e84dd0d12b6.png)
(3)在估测该多面体的体积时,经常运用近似公式
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4a02fce86b05e431bd95aa97ac29312.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bb43e591021b79f00642d5ca2d2bf738.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ac758a10c1fc71d638145aeb8dcd3834.png)
注:与两个底面平行,且到两个底面距离相等的截面称为该多面体的中截面.
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2022-11-09更新
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207次组卷
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2卷引用:2002年普通高等学校招生考试数学(理)试题(北京卷)