名校
1 . 已知实数x,y满足方程
.
(1)求
的值;
(2)设
与
是方程组
两组不同的解,其中
.求证:
.
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(1)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7c1afbc87ccffbc98b9ab58df8c69bee.png)
(2)设
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名校
2 . 根据多元微分求条件极值理论,要求二元函数
在约束条件
的可能极值点,首先构造出一个拉格朗日辅助函数
,其中
为拉格朗日系数.分别对
中的
部分求导,并使之为0,得到三个方程组,如下:
,解此方程组,得出解
,就是二元函数
在约束条件
的可能极值点.
的值代入到
中即为极值.
补充说明:【例】求函数
关于变量
的导数.即:将变量
当做常数,即:
,下标加上
,代表对自变量x进行求导.即拉格朗日乘数法方程组之中的
表示分别对
进行求导.
(1)求函数
关于变量
的导数并求当
处的导数值.
(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
满足
,求
的最大值.
(3)①若
为实数,且
,证明:
.
②设
,求
的最小值.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/244021f826099b18e31af1143597bba2.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/eb5be11a5e6aaf00b2833930b198b4cf.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bc4c14935585e8fa61d032730867d771.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/9b0fffbec1fe851795dfdd448bf0d165.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f1c3c1ed4fb65ab9505ad8078d8d0fb5.png)
补充说明:【例】求函数
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/81dea63b8ce3e51adf66cf7b9982a248.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d053b14c8588eee2acbbe44fc37a6886.png)
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(1)求函数
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(2)利用拉格朗日乘数法求:设实数
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(3)①若
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②设
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解题方法
3 . 已知方程组
,其中
,
的值从集合
中随机取得.
(1)求该方程组无解的概率;
(2)求该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限的概率.
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(1)求该方程组无解的概率;
(2)求该方程组仅有一组解,且该解对应的点在第四象限的概率.
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名校
4 . 成书于约两千多年前的我国古代数学典籍《九章算术》中记载了通过加减消元求解
元一次方程组的算法,直到拥有超强算力计算机的今天,这仍然是一种效率极高的算法.按照这种算法,求解
元一次方程组大约需要对实系数进行
(
为给定常数)次计算.1949年,经济学家莱昂提夫为研究“投入产出模型”(该工作后来获得1973年诺贝尔经济学奖),利用当时的计算机求解一个42元一次方程组,花了约56机时.事实上,他的原始模型包含500个未知数,受限于机器算力而不得不进行化简以减少未知数.如果不进行化简,根据未知数个数估计所需机时,结果最接近于( )
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A.![]() | B.![]() | C.![]() | D.![]() |
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2022-12-05更新
|
304次组卷
|
3卷引用:北京市海淀区北大附中2023届高三预科部上学期12月阶段练习数学试题
解题方法
5 . 在组合恒等式的证明中,构造一个具体的计数模型从而证明组合恒等式的方法叫做组合分析法,该方法体现了数学的简洁美,我们将通过如下的例子感受其妙处所在.
(1)对于
元一次方程
,试求其正整数解的个数;
(2)对于
元一次方程组
,试求其非负整数解的个数;
(3)证明:
(可不使用组合分析法证明).
注:
与
可视为二元一次方程的两组不同解.
(1)对于
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(2)对于
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa38e21db62123319c9557d1bc52825d.png)
(3)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d63a043e64f7ed5d168cd2c9384e953b.png)
注:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/65fe832c0460e00120d4bc3636aebcaf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aa6c8fe63bb58df1c5a12422e9c9e291.png)
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2024-03-08更新
|
1118次组卷
|
3卷引用:广东省五粤名校联盟2024届高三第一次联考数学试题
6 . 对一般的实系数一元三次方程
,由于总可以通过代换
消去其二次项,就可以变为方程
.在一些数学工具书中,我们可以找到方程
的求根公式,这一公式被称为卡尔丹公式,它是以16世纪意大利数学家卡尔丹(J.Cardan)的名字命名的.
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
可以变形为
,把未知数x写成两数之和
,再把等式
的右边展开,就得到
,即
.将上式与
相对照,得到
,把此方程组中的第一个方程两边同时作三次方,
,并把
与
看成未知数,解得
,于是,方程
一个根可以写成
.
阅读以上材料,求解方程
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b5dd275a6062b21f9c3e9155c7e0ba62.png)
卡尔丹公式的获得过程如下:三次方程
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ead1b77b69e6b51d6d483331fd01d41.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0bed1a02239821a616bc173181e7ed2.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/11792ad247341c0dbc80663dd0fa6f77.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7ead1b77b69e6b51d6d483331fd01d41.png)
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阅读以上材料,求解方程
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/93c3d494147195cf4f5e1fa3f6f5a0b9.png)
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7 . 解关于
,
的方程或方程组:
(1)
;
(2)
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/0000cc9d5048df0667dc7714077b69cb.png)
(1)
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(2)
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名校
解题方法
8 . 利用方程的方法可以将无限循环小数化为分数,例如将
化为分数是这样计算的:设
,则
,即
,解得
.
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
,乙获胜的概率为
,每局比赛的结果互不影响.规定:净胜
局指的是一方比另一方多胜
局.
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
局.设甲在净胜
局时,继续比赛甲获胜的概率为
,比赛结束(甲、乙有一方先净胜三局)时需进行的局数为
,期望为
.
①求甲获胜的概率
;
②求
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8567750e1eb0471c3942c1456cdf2299.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b0fae7b60887e1ae9ff3f6b2b959762e.png)
这是一种利用方程求解具有无限过程的问题的方法,这种方法在高中计算无限概率、无限期望问题时都有很好的妙用.
已知甲、乙两人进行乒乓球比赛,每局比赛甲获胜的概率为
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4dac452fbb5ef6dd653e7fbbef639484.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/294f5ba74cdf695fc9a8a8e52f421328.png)
(1)如果约定先获得净胜两局者获胜,求恰好4局结束比赛的概率;
(2)如果约定先获得净胜三局者获胜,那么在比赛过程中,甲可能净胜
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c05b9832b09731a574d4a4adf7448de.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/59c709117ab1d3ef620883a732aed68b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f95e54a9b7c66c97dc6ee6161a25c0e.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/56b678dec65a0ca8006cc6828d8cb501.png)
①求甲获胜的概率
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf9f50605db5d5f8f3a01ee8e474a112.png)
②求
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1303次组卷
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2卷引用:湖北省武汉市武昌区2024届高三下学期5月质量检测数学试卷
9 . 设
是方程
的一组解,计算:
(1)
;
(2)求
的值.
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(1)
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(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b859b72b8127df011d0b3032d2c3ff3e.png)
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名校
解题方法
10 . (1)计算
;
(2)已知关于
的方程
有实数解,求纯虚数
.
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(2)已知关于
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