1 . 对于给定的一个位自然数（其中，），称集合为自然数的子列集合，定义如下：{且，使得}，比如：当时，.
(1)当时，写出集合；
(2)有限集合的元素个数称为集合的基数，一般用符号来表示.
（ⅰ）已知，试比较大小关系；
（ⅱ）记函数（其中为这个数的一种顺序变换），并将能使取到最小值的记为.当时，求的最小值，并写出所有满足条件的.

2 . 为庆祝共青团成立一百周年，某校高二年级组织了一项知识竞答活动，有三个问题.规则如下：只有答对当前问题才有资格回答下一个问题，否则停止答题：小明是否答对三个问题相互独立，答对三个问题的概率及答对时获得相应的荣誉积分如下表：

问题
答对的概率
获得的荣誉积分

(1)若小明随机选择一道题，求小明答对的概率；
(2)若小明按照的顺序答题所获得的总积分为，按照___________（在下列条件①②③中任选一个）的顺序答题所获得的总积分为，请分别求的分布列，并比较它们数学期望的大小.
①；②：③
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

3 . 二项分布是离散型随机变量重要的概率模型，在生活中被广泛应用．现在我们来研究二项分布的简单性质，若随机变量．
(1)证明：（ⅰ）（，且），其中为组合数；
（ⅱ）随机变量的数学期望；
(2)一盒中有形状大小相同的4个白球和3个黑球，每次从中摸出一个球且不放回，直到摸到黑球为止，记事件A表示第二次摸球时首次摸到黑球，若将上述试验重复进行10次，记随机变量表示事件A发生的次数，试探求的值与随机变量最有可能发生次数的大小关系．

4 . 已知直角梯形，，，，扇形圆心角，，如图，将，以及扇形的面积分别记为

   

(1)写出的表达式，并指出其大小关系（不需证明）；
(2)用表示梯形的面积；并证明：；
(3)设，，试用代数计算比较与的大小.