解题方法
1 . 若函数
的定义域、值域都是有限集合
,
,则定义
为集合A上的有限完整函数.已知
是定义在有限集合
上的有限完整函数.
(1)求
的最大值;
(2)当
时,均有
,求满足条件的
的个数;
(3)对于集合M上的有限完整函数
,定义“闭环函数”如下:
,对
,且
,
.若
,
,
,则称
为“m阶闭环函数”.证明:存在一个闭环函数
既是3阶闭环函数,也是4阶闭环函数(用列表法表示
的函数关系).
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(1)求
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(2)当
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(3)对于集合M上的有限完整函数
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解题方法
2 . 某学生在上学路上要经过三个路口,在各个路口遇到红灯的概率及停留的时间如下:
假设在各路口是否遇到红灯相互独立.
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率;
(3)假设交管部门根据实际路况,5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟.估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况,是“增加,不变还是减少”.(结论不要求证明)
路口 | 路口一 | 路口二 | 路口三 |
遇到红灯的概率 | |||
遇到红灯停留的时间 | 3分钟 | 2分钟 | 1分钟 |
(1)求这名学生在上学路上到第三个路口时首次遇到红灯的概率;
(2)求这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间大于3分钟的概率;
(3)假设交管部门根据实际路况,5月1日之后将上述三个路口遇到红灯停留的时间都变为2分钟.估计5月1日之后这名学生在上学路上因遇到红灯停留的总时间的变化情况,是“增加,不变还是减少”.(结论不要求证明)
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3 . 在足球比赛中,有时需通过点球决定胜负.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有
的可能性扑不到球.不考虑其它因素,在一次点球大战中,求门将在前三次扑到点球的个数
的分布列和期望;
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外
人中的
人,接球者接到球后再等可能地随机传向另外
人中的
人,如此不停地传下去,假设传出的球都能接住.记第
次传球之前球在甲脚下的概率为
,易知
.
① 试证明:
为等比数列;
② 设第
次传球之前球在乙脚下的概率为
,比较
与
的大小.
(1)扑点球的难度一般比较大,假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门,门将(也称为守门员)也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球,而且门将即使方向判断正确也有
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bf31876698721a199c7c53c6b320aa86.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练,甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中,球从甲脚下开始,等可能地随机传向另外
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/bdaa19de263700a15fcf213d64a8cd57.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/61128ab996360a038e6e64d82fcba004.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3ffb021aa7d5a5c2f0691e337caad624.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/8ccb00156af41dd19c8f093358a19419.png)
① 试证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1522ca5beca917b24f0f8ce40730c34f.png)
② 设第
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
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4 . 十七世纪至十八世纪的德国数学家莱布尼兹是世界上第一个提出二进制记数法的人,用二进制记数只需数字0和1,对于整数可理解为逢二进一,例如:自然数1在二进制中就表示为
,2表示为
,3表示为
,5表示为
,发现若
可表示为二进制表达式
,则
,其中
,
或1(
).
(1)记
,求证:
;
(2)记
为整数
的二进制表达式中的0的个数,如
,
.
(ⅰ)求
;
(ⅱ)求
(用数字作答).
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ff810f41a26172e80524e98da4ea3699.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/28652e52c0b02a343e618935ea625cbf.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/60f4052daae3c3e9ad015e2179319f1b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f6c716342983f6ae1ffaf192994c4070.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/489340c9a2d70c00bae13b7018cad448.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ca64ef9e0c3dd14e99d113dbbe973ace.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/54d6af634dfcecddaba59d9a8c9bfc00.png)
(1)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c00b0ffdf62f43fc736fc89e9d663d74.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/23bc3d696ceb9622e3db60128a23a949.png)
(2)记
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d0c16dff106bc3e26a1a61c1eaa95460.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b6a24198bd04c29321ae5dc5a28fe421.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/74615750a3a01569eff76d1ea64ee5c1.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a4c2da0219706f639dfe426f979572c5.png)
(ⅰ)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3f2e820b1b44ea737a3ff68419d75424.png)
(ⅱ)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c45975c684ed2e4e818582e961c1ca01.png)
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2024-03-01更新
|
2491次组卷
|
4卷引用:东北三省三校(哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)2023-2024学年高三下学期第一次联合模拟考数学试题
5 . 高斯二项式定理广泛应用于数学物理交叉领域.设
,
,记
,
,并规定
.记
,并规定
.定义![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d601aa06fb338e5e629935efcff4932.png)
(1)若
,求
和
;
(2)求
;
(3)证明:
.
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/09881de0dc186bbcd1e60eb00159ee97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e58df309205b8d16bbd5d0a0e4e7d053.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3c8698bbd609efdba601a39d2eb2cb97.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/02b4ad0e3e571e1a08f420228c02c12f.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/e5dd4e67e475ed09d10ed514058ede2c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1a494b79124dc4e7ddc75281053742b0.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d601aa06fb338e5e629935efcff4932.png)
(1)若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/7a9a6cca129af26a517a09cf5a0f3e29.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b2b11fba3ed5a9437cea560cc3a81ef9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a0d6808740a5b6d1c709e2e3cfe1c394.png)
(2)求
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1d36b40974197a7e097094cc957e29d1.png)
(3)证明:
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/369cd24ddc7279c5f4014d320f2580be.png)
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解题方法
6 . 某医学小组为了比较白鼠注射A,B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积,选20只健康白鼠做试验.将这20只白鼠随机分成两组,每组10只,其中第1组注射药物A,第2组注射药物B.试验结果如下表所示.
(1)现分别从第1组,第2组的白鼠中各随机选取1只,求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的概率;
(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验,求第2组中被抽中白鼠只数
的分布列和数学期望
;
(3)用“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内,“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内(
),写出方差
,
的大小关系.(结论不要求证明)
疱疹面积(单位: | |||||
第1组(只) | 3 | 4 | 1 | 2 | 0 |
第2组(只) | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/ebce0bc6b87cf577c4d3b0885b3de988.png)
(2)从两组皮肤疱疹面积在
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/049308ddadf8b2b49224a8eb8555a3ec.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f022950e0faa45b617d497b01b5292b9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(3)用“
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1ce9dff0e1d3c5aa6bc74789230eb487.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/fe346469f73e000316a86ca598e99258.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/376d13d02d6e3c18c863ec2da41cc286.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/f0a532e15e232cb4b99a8d4d07c89575.png)
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c293f004a1982e1f2b1f89d1f8e469b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a3f147b6a29922b2f5f77fdf394543e6.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/89f92c92909a7dc4ef6524243144de35.png)
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解题方法
7 . 《中华人民共和国体育法》规定,国家实行运动员技术等级制度,下表是我国现行《田径运动员技术等级标准》(单位:m)(部分摘抄):
在某市组织的考级比赛中,甲、乙、丙三名同学参加了跳远考级比赛,其中甲、乙为男生,丙为女生,为预测考级能达到国家二级及二级以上运动员的人数,收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩,并整理得到如下数据(单位:):
甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25;
乙:6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38;
丙:5.16,5.65,5.18,5.86.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立,
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数,估计X的数学期望
;
(3)在跳远考级比赛中,每位参加者按规则试跳6次,取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中,甲已完成6次试跳,丙已完成5次试跳,成绩(单位:m)如下表:
若丙第6次试跳的成绩为a,用
分别表示甲、丙试跳6次成绩的方差,当
时,写出a的值.(结论不要求证明)
项目 | 国际级运动健将 | 运动健将 | 一级运动员 | 二级运动员 | 三级运动员 |
男子跳远 | 8.00 | 7.80 | 7.30 | 6.50 | 5.60 |
女子跳远 | 6.65 | 6.35 | 5.85 | 5.20 | 4.50 |
甲:6.60,6.67,6.55,6.44,6.48,6.42,6.40,6.35,6.75,6.25;
乙:6.38,6.56,6.45,6.36,6.82,7.38;
丙:5.16,5.65,5.18,5.86.
假设用频率估计概率,且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立,
(1)估计甲在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的概率;
(2)设X是甲、乙、丙在此次跳远考级比赛中成绩达到二级及二级以上运动员的总人数,估计X的数学期望
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bf3baba074e8aeb6f3ea117865bbd1b.png)
(3)在跳远考级比赛中,每位参加者按规则试跳6次,取6次试跳中的最好成绩作为其最终成绩本次考级比赛中,甲已完成6次试跳,丙已完成5次试跳,成绩(单位:m)如下表:
第1跳 | 第2跳 | 第3跳 | 第4跳 | 第5跳 | 第6跳 | |
甲 | 6.50 | 6.48 | 6.47 | 6.51 | 6.46 | 6.49 |
丙 | 5.84 | 5.82 | 5.85 | 5.83 | 5.86 | a |
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2d80cb0d9647535655bb42c5b7961582.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/20046a66c1e9276e4a5d568693c5d2a6.png)
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8 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:
,其中
表示虚数单位,
是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:
其中的感叹号!表示阶乘
,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
;②
;
(3)求出角度
的
倍角公式(用
表示,
).
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/d5aa584db159b0f9bfae801d0134393b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3a7035cd4adda5d72a9fc9f9fda75995.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/041a7c8fc017f596542c5e6ec7d1c40b.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/574f94ac7dfd3477b58799e0251bb6a9.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/a260aee25664815506d2720174b03829.png)
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/5bde2a8df1f0418c41a6e077c7f5de21.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1150e58bbcb15a349fb5b9b5ef708d41.png)
(3)求出角度
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/c24095e409b025db711f14be783a406c.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/6f9d7bbcbeb05fbbb06463120f9a6811.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/aefd06c239145a2b6ae87a955aa51414.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/b8cd112c1cb203187e3c9554617c45b8.png)
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9 . 在坐标平面内
的区域,随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/3aac473ddb43914f7a4a5d142dd8dfbc.png)
,记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4bd9fe7e51b7aebba4012e077f621c02.png)
(1)当
时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量
与
分别表示
的横纵坐标.
①求出
的期望 ![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/651127534574ec89f87fbe6223ded5bf.png)
②现在实际上选取了四个点
尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值
(四舍五入取整).
(3)记方差
,试证明
.
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相关公式:
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(1)当
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(2)记随机变量
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/2c94bb12cee76221e13f9ef955b0aab1.png)
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①求出
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②现在实际上选取了四个点
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![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/71dcc323aa6b7e73f92b2111cc4648be.png)
(3)记方差
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10 . 某企业生产一种零部件,其质量指标介于
的为优品.技术改造前,该企业生产的该种零部件质量指标服从正态分布
;技术改造后,该企业生产的同种零部件质量指标服从正态分布
.
附:若
,取
,
.
(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差;
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
,各个元件能否正常工作相互独立,如果系统中有超过一半的元件正常工作,系统就能正常工作. 系统正常工作的概率称为系统的可靠性.
①若控制系统原有
个元件,计算该系统的可靠性,并判断若给该系统增加一个元件,可靠性是否提高?
②假设该系统配置有
个元件,若再增加一个元件,是否一定会提高系统的可靠性?请给出你的结论并证明.
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附:若
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/1290917c2c835b61384480b335cc1d13.png)
![](https://staticzujuan.xkw.com/quesimg/Upload/formula/4c2e2a3047fd8a303139fffe9af03adf.png)
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(1)求该企业生产的这种零部件技术改造后的优品率与技术改造前的优品率之差;
(2)若该零件生产的控制系统中每个元件正常工作的概率都是
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①若控制系统原有
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②假设该系统配置有
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