1 . （1）我们学过组合恒等式
，实际上可以理解为
，请你利用这个观点快速求解：
.（计算结果用组合数表示）
（2）（i）求证：
；
（ii）求值：
.
，实际上可以理解为，请你利用这个观点快速求解：.（计算结果用组合数表示）（2）（i）求证：
；（ii）求值：
.
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2 . 为研究北京西部地区油松次生林和油松人工林的森林群落植物多样性问题，某高中研究性学习小组暑假以妙峰山油松次生林和老山油松人工林为研究对象进行调查，得到两地区林下灌木层，乔木层，草本层的抽样调查数据．其中两地区林下灌木层获得数据如表1，表2所示：
表1：老山油松人工林林下灌木层
表2：妙峰山油松次生林林下灌木层
(1)从抽取的老山油松人工林林下灌木层的植物样本中任选2株，求2株植物的类型都是乔木幼苗的概率；
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为
，求的分布列和数学期望；
(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为
．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
表1：老山油松人工林林下灌木层
| 植物名称 | 植物类型 | 株数 |
| 酸枣 | 灌木 | 28 |
| 荆条 | 灌木 | 41 |
| 孩儿拳头 | 灌木 | 22 |
| 河朔荛花 | 灌木 | 4 |
| 臭椿 | 乔木幼苗 | 1 |
| 黑枣 | 乔木幼苗 | 1 |
| 构树 | 乔木幼苗 | 2 |
| 元宝槭 | 乔木幼苗 | 1 |
| 植物名称 | 植物类型 | 株数 |
| 黄栌 | 乔木幼苗 | 6 |
| 朴树 | 乔木幼苗 | 7 |
| 栾树 | 乔木幼苗 | 4 |
| 鹅耳枥 | 乔木幼苗 | 7 |
| 葎叶蛇葡萄 | 木质藤本 | 8 |
| 毛樱桃 | 灌木 | 9 |
| 三裂绣线菊 | 灌木 | 11 |
| 胡枝子 | 灌木 | 10 |
| 大花溲疏 | 灌木 | 10 |
| 丁香 | 灌木 | 8 |
(2)以表格中植物类型的频率估计概率，从妙峰山油松次生林林下灌木层的所有植物中随机抽取3株（假设每次抽取的结果互不影响），记这3株植物的植物类型是灌木的株数为
，求的分布列和数学期望；(3)从老山油松人工林的林下灌木层所有符合表1中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为
；从妙峰山油松次生林的林下灌木层所有符合表2中植物名称的植物中任选2株，记此2株植物属于不同植物名称的概率估计值为．请直接写出与大小关系．（结论不要求证明）
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2024-03-28更新
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776次组卷
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2卷引用：北京市石景山区2024届高三下学期3月统一练习数学试卷
3 . 在2024年5月举行的第一届全国全民健身大赛（西南区）篮球项目贵州选拔赛暨2024年贵州省篮球公开赛中，铜仁市代表队凭借出色的技术和顽强拼搏的精神，从全省42支队伍中脱颖而出，闯进决赛．受此影响，铜仁市某校掀起了篮球运动的热潮，在一次篮球训练课上，甲、乙、丙三位同学进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能的将球传给另外两个人中的任何一人．
(2)设
次传球后球在甲手中的概率为
，求证数列
为等比数列，并求数列
的通项公式；
(3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的
四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为
，传给对角线上同学的概率为
（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是
；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由．
(2)设
次传球后球在甲手中的概率为，求证数列为等比数列，并求数列的通项公式；(3)现在丁加入传球训练，且甲、乙、丙、丁四人分别站定于如图所示的
四点（为正方形的四个顶点），且每次传球时，传球者将球传给相邻同学的概率为，传给对角线上同学的概率为（例如：甲传球给乙或丁的概率都是，传球给丙的概率是；若第一次仍由甲将球传出，则次传球后，试比较球在甲、乙、丙、丁手中概率的大小，并说明理由．
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名校
解题方法
4 . 某医学小组为了比较白鼠注射A，B两种药物后产生的皮肤疱疹的面积，选20只健康白鼠做试验．将这20只白鼠随机分成两组，每组10只，其中第1组注射药物A，第2组注射药物B．试验结果如下表所示．
(1)现分别从第1组，第2组的白鼠中各随机选取1只，求被选出的2只白鼠皮肤疱疹面积均小于
的概率；
(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望
；
(3)用“
”表示第
组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内，“
”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在
区间内（
），写出方差
，
的大小关系．（结论不要求证明）
疱疹面积（单位： |
|
|
|
|
|
第1组（只） | 3 | 4 | 1 | 2 | 0 |
第2组（只） | 1 | 3 | 2 | 3 | 1 |
）
的概率；(2)从两组皮肤疱疹面积在
区间内的白鼠中随机选取3只抽血化验，求第2组中被抽中白鼠只数的分布列和数学期望；(3)用“
”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内，“”表示第组白鼠注射药物后皮肤疱疹面积在区间内（），写出方差，的大小关系．（结论不要求证明）
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2024-03-27更新
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1085次组卷
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4卷引用：北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习（一）数学试题
北京市丰台区2023-2024学年高三下学期综合练习（一）数学试题北京市鲁迅中学2023-2024学年高二下学期期中测试数学试卷江苏省如东高级中学2023-2024学年高二年级第二学期阶段测试（二） 数学试题（已下线）第三章 随机变量及其分布列 专题二 随机变量的方差 微点1 随机变量的方差【基础版】
解题方法
5 . 已知离散型随机变量服从二项分布
.
(1)求证：
，且
为大于1的正整数
；
(2)求证：
；
(3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是
，设同时发生故障的车床数为，记
时的概率为
.试比较最大时的值与的大小.
服从二项分布.(1)求证：
，且为大于1的正整数；(2)求证：
；(3)一个车间有12台完全相同的车床，它们各自独立工作，且发生故障的概率都是
，设同时发生故障的车床数为，记时的概率为.试比较最大时的值与的大小.
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6 . 对给定的正整数，令
．对任意
，
，定义
与
的距离
．设A是
的至少含有两个元素的子集，集合
中的最小值称为A的特征值，记作
．
(1)设
，
，直接写出集合
的特征值；
(2)当
时，求证：存在集合A满足对任意
，都存在唯一的
，使得
，且A中不同元素之间的距离为5；
(3)当
时，且
，求A中元素个数的最大值．
，令．对任意，，定义与的距离．设A是的至少含有两个元素的子集，集合中的最小值称为A的特征值，记作．(1)设
，，直接写出集合的特征值；(2)当
时，求证：存在集合A满足对任意，都存在唯一的，使得，且A中不同元素之间的距离为5；(3)当
时，且，求A中元素个数的最大值．
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名校
解题方法
7 . 设
，数对
按如下方式生成：
，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若
，则
，否则
；当硬币的反面朝上时，若
，则，否则
．抛掷n次硬币后，记
的概率为．
(1)写出
的所有可能情况，并求
；
(2)证明：
是等比数列，并求；
(3)设抛掷n次硬币后
的期望为
，求．
，数对按如下方式生成：，抛掷一枚均匀的硬币，当硬币的正面朝上时，若，则，否则；当硬币的反面朝上时，若，则，否则．抛掷n次硬币后，记的概率为．(1)写出
的所有可能情况，并求；(2)证明：
是等比数列，并求；(3)设抛掷n次硬币后
的期望为，求．
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7日内更新
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212次组卷
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2卷引用：云南师范大学附属中学2024-2025学年高三上学期9月月考数学试题
解题方法
8 . 甲、乙两个篮球队在4次不同比赛中的得分情况如下：
(1)在4次比赛中，求甲队的平均得分；
(2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；
(3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为
，
，试判断与的大小（结论不要求证明）
甲队 | 88 | 91 | 93 | 96 |
乙队 | 89 | 94 | 97 | 92 |
(2)分别从甲、乙两队的4次比赛得分中各随机选取1次，求这2个比赛得分之差的绝对值为1的概率；
(3)甲，乙两队得分数据的方差分别记为
，，试判断与的大小（结论不要求证明）
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2024-01-29更新
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270次组卷
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2卷引用：北京市石景山区2023-2024学年高一上学期期末考试数学试卷
9 . 某手机销售商为了了解一款
手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值
，样本的标准差
．
(1)经分析，可以认为该款手机的日销售量近似服从正态分布
，用样本的平均值
作为
的近似值，用样本的标准差
作为
的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在
之间的概率；
(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为
的概率为
，
（ⅰ）求
的值，并证明：数列
是等比数列；
（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量
，则
，
．
手机的销量情况，对近100天该手机的日销售量（单位：部）进行了统计，经计算得到了样本的平均值，样本的标准差．(1)经分析，可以认为该款手机的日销售量
近似服从正态分布，用样本的平均值作为的近似值，用样本的标准差作为的近似值，现任意选取一天，试估计这一天该款手机的销量恰好在之间的概率；(2)为了促销，该销售商推出了“摸小球、送手机”的活动，活动规则为：①每位购买了一部该款手机的顾客参加一次活动；②箱子中装有红球2个和白球4个，如果摸到的是白球，则获得1个积分，如果摸到的是红球，则获得2个积分．放回后进行下一次摸取．设顾客的初始积分为0，顾客的积分之和为
的概率为，（ⅰ）求
的值，并证明：数列是等比数列；（ⅱ）销售商家规定当积分之和达到19或20时，游戏结束，如果最终积分为19，顾客获得二等奖，手机的售价减免1000元；如果最终的积分为20，顾客获得一等奖，手机的售价减免2000元．活动的第一天共有300位顾客各购买了一部该手机，且都参加了活动，试估计获得一等奖的顾客人数．（结果四舍五入取整数）
参考数据：若随机变量
，则，．
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名校
10 . 自然常数，符号
，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率
和虚数单位
，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是
.设数列
的通项公式为
，
，
(1)写出数列的前三项
，
，
．
(2)证明：
．
，为数学中的一个常数，是一个无限不循环小数，且为超越数，其值约为2.71828.它是自然对数的底数.有时称它为欧拉数（Euler number），以瑞士数学家欧拉命名；也有个较为少见的名字“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰・纳皮尔（John Napier）引进对数.它就像圆周率和虚数单位，是数学中最重要的常数之一，它的其中一个定义是.设数列的通项公式为，，(1)写出数列
的前三项，，．(2)证明：
．
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2024-08-12更新
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276次组卷
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2卷引用：云南省大理新世纪中学2024届高三数学模拟试题
