解题方法
1 . 设
，
.如果存在
使得
，那么就说
可被
整除（或整除），记做
且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做
．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，
，则
；②，互质，若，，则
；③若
，则
，其中
.
(1)若数列
满足，
，其前
项和为
，证明：
；
(2)若为奇数，求证：
能被
整除；
(3)对于整数与
，
，求证：
可整除
.
，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.(1)若数列
满足，，其前项和为，证明：；(2)若
为奇数，求证：能被整除；(3)对于整数
与，，求证：可整除.
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解题方法
2 . 如图所示数阵，第
行共有
个数，第m行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，
恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
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2024-05-14更新
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997次组卷
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2卷引用：江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研（二）数学试题
3 . （1）设
、
，
，求证：
；
（2）请利用二项式定理证明：
.
、，，求证：；（2）请利用二项式定理证明：
.
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2020-07-16更新
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737次组卷
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8卷引用：上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题
上海市静安区2019-2020学年高二下学期期末数学试题（已下线）对点练69 二项式定理-2020-2021年新高考高中数学一轮复习对点练（已下线）专题2.6 排列组合和二项式定理【章节复习专项训练】-2020-2021学年高二数学下学期期末专项复习（沪教版）（已下线）考向38 二项式定理全归纳（十五大经典题型）-3上海市复旦大学附属中学青浦分校2022-2023学年高二下学期3月月考数学试题（已下线）拓展二：二项式定理15种常见考法归类 -【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第三册）（已下线）高二下期末真题精选（易错60题45个考点专练）（高中全部内容）（原卷版）（已下线）第03讲 二项式定理（十五大题型）（讲义）-3
4 . 在杨辉三角形中，从第3行开始，除1以外，其它没一个数值是它肩上的两个数之和，这三角形数阵开头几行如图所示．
（1）证明：
；
（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
（1）证明：
；（2）求证：第m斜列中（从右上到左下）的前K个数之和一定等于第m+1斜列中的第K个数，即
（3）在杨辉三角形中是否存在某一行，该行中三个相邻的数之比为3：8：14？若存在，试求出这三个数；若不存在，请说明理由．
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名校
5 . 在信息理论中，
和
是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：
，
，
，
，
，
．定义随机变量的信息量
，和的“距离”
．
(1)若
，求
；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为
，发出信号1接收台收到信号为1的概率为
．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：
．
和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．(1)若
，求；(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为
，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用
，表示结果）（ⅱ）记随机变量
和分别为发出信号和收到信号，证明：．
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7日内更新
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642次组卷
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4卷引用：江西省上饶市稳派上进六校联考2024届高三5月第二次联合考试数学试题
解题方法
6 . 阅读是人类获取知识、启智增慧、培养道德的重要途径.某年级共有学生500人，其中男生300人，女生200人，为了解学生每个学期的阅读时长，采用分层抽样的方法抽取样本，收集统计了他们的阅读时长（单位：小时），计算得男生样本的均值为100，标准差为16，女生样本的均值为90，标准差为19.
(1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？
(2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：，
，
；，
，
.记总的样本的均值为
，样本方差为
.
（ⅰ）证明：
；
（ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）：
(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布
，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为
和
的估计值.如果按照
的比例将阅读时长从高到低依次划分为
，
，
，
四个等级，试确定各等级时长（精确到1）.
附：
，
，
，
.
(1)如果男、女的样本量都是25，请估计总样本的均值.以该结果估计总体均值合适吗？为什么？
(2)已知总体划分为2层，采用样本量比例分配的分层随机抽样，各层抽取的样本量、样本平均数和样本方差分别为：
，，；，，.记总的样本的均值为，样本方差为.（ⅰ）证明：
；（ⅱ）如果已知男、女样本量按比例分配，请直接写出总样本的均值和标准差（精确到1）：
(3)假设全年级学生的阅读时长服从正态分布
，以（ⅱ）总样本的均值和标准差分别作为和的估计值.如果按照的比例将阅读时长从高到低依次划分为，，，四个等级，试确定各等级时长（精确到1）.附：
，，，.
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7 . 在机器学习中，精确率
、召回率
、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率
，召回率
，卡帕系数
，其中
．
(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率和召回率．
(2)对任意一次测试，证明：
．
(3)若
，则认为机器人的检测效果良好；若
，则认为检测效果一般；若
，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
、召回率、卡帕系数是衡量算法性能的重要指标．科研机构为了测试某型号扫雷机器人的检测效果，将模拟战场分为100个位点，并在部分位点部署地雷．扫雷机器人依次对每个位点进行检测，表示事件“选到的位点实际有雷”，表示事件“选到的位点检测到有雷”，定义：精确率，召回率，卡帕系数，其中．(1)若某次测试的结果如下表所示，求该扫雷机器人的精确率
和召回率．| 实际有雷 | 实际无雷 | 总计 | |
| 检测到有雷 | 40 | 24 | 64 |
| 检测到无雷 | 10 | 26 | 36 |
| 总计 | 50 | 50 | 100 |
(2)对任意一次测试，证明：
．(3)若
，则认为机器人的检测效果良好；若，则认为检测效果一般；若，则认为检测效果差．根据卡帕系数评价（1）中机器人的检测效果．
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解题方法
8 . 若一个两位正整数的个位数为6，则称为“幸运数”.
(1)对任意“幸运数”，证明：
能被6整除；
(2)已知集合
.
①若
，证明：
；
②若“幸运数”
，则称数对
为“亲密数对”，规定：
，求小于50的“幸运数”中，所有“亲密数对”的
的所有值.
的个位数为6，则称为“幸运数”.(1)对任意“幸运数”
，证明：能被6整除；(2)已知集合
.①若
，证明：；②若“幸运数”
，则称数对为“亲密数对”，规定：，求小于50的“幸运数”中，所有“亲密数对”的的所有值.
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9 . 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷
次骰子后，记球在乙手中的概率为
，求数列
的通项公式；
(3)设
，求证：
.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷
次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)设
，求证：.
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解题方法
10 . （1）在
的展开式中，求形如
（，
）的所有项的系数之和．
（2）证明：
展开式中的常数项为
．
（3）设
的小数部分为
，比较
与1的大小
的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和．（2）证明：
展开式中的常数项为．（3）设
的小数部分为，比较与1的大小
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141次组卷
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3卷引用：山西省忻州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
