名校
解题方法
1 . 设
，
.如果存在
使得
，那么就说
可被
整除（或整除），记做
且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做
．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，
，则
；②，互质，若，，则
；③若
，则
，其中
.
(1)若数列
满足，
，其前
项和为
，证明：
；
(2)若为奇数，求证：
能被
整除；
(3)对于整数与
，
，求证：
可整除
.
，.如果存在使得，那么就说可被整除（或整除），记做且称是的倍数，是的约数（也可称为除数、因数）．不能被整除就记做．由整除的定义，不难得出整除的下面几条性质：①若，，则；②，互质，若，，则；③若，则，其中.(1)若数列
满足，，其前项和为，证明：；(2)若
为奇数，求证：能被整除；(3)对于整数
与，，求证：可整除.
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2024-05-19更新
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535次组卷
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2卷引用：山东中学联盟2024届高考考前热身押题数学试题
解题方法
2 . 如图所示数阵，第
行共有
个数，第m行的第1个数为
，第2个数为
，第
个数为
.规定：
.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，
恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
行共有个数，第m行的第1个数为，第2个数为，第个数为.规定：.
(2)求证：每一行的所有数之和等于下一行的最后一个数；
(3)从第1行起，每一行最后一个数依次构成数列
，设数列的前n项和为是否存在正整数k，使得对任意正整数n，恒成立？如存在，请求出k的最大值，如不存在，请说明理由.
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2024-05-14更新
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1004次组卷
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2卷引用：江苏省苏锡常镇四市2024届高三教学情况调研（二）数学试题
3 . 某高中学校有室内、室外两个运动场.假设同学们可以任意选择其中一个运动场锻炼，也可选择不锻炼，一天最多锻炼一次，一次只能选择一个运动场.若同学们每次锻炼选择去室内、室外运动场的概率均为0.5，每次选择相互独立.设
同学三天内去运动场锻炼的次数为
，已知的分布列如下：（其中
）
(1)记事件
表示同学三天内去运动场锻炼
次
；事件
表示同学在这三天内去室内运动场锻炼的次数大于去室外运动场锻炼的次数.当
时，试根据全概率公式求
的值；
(2)是否存在实数
，使得
？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(3)记
表示事件“室外运动场举办集体锻炼活动”，
表示事件“王同学去室外运动场锻炼”，
.已知同学在室外运动场举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率，比不举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率大，试比较
与
的大小，并证明之.
同学三天内去运动场锻炼的次数为，已知的分布列如下：（其中） | 0 | 1 | 2 | 3 |
 |  |  | |  |
表示同学三天内去运动场锻炼次；事件表示同学在这三天内去室内运动场锻炼的次数大于去室外运动场锻炼的次数.当时，试根据全概率公式求的值；(2)是否存在实数
，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；(3)记
表示事件“室外运动场举办集体锻炼活动”，表示事件“王同学去室外运动场锻炼”，.已知同学在室外运动场举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率，比不举办集体锻炼活动的情况下去室外运动场锻炼的概率大，试比较与的大小，并证明之.
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解题方法
4 . 设离散型随机变量X，Y的取值分别为
，
．定义X关于事件“
”
的条件数学期望为
，已知条件数学期望满足全期望公式
．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．
设第n天上午培养皿中A的个体数量为
．规定
，
．
(1)求
，
；
(2)证明
；
(3)已知
，求
，并结合（2）说明其实际含义．
附：对于随机变量X，
．
，．定义X关于事件“”的条件数学期望为，已知条件数学期望满足全期望公式．解决如下问题：为了研究某药物对于微生物A生存状况的影响，某实验室计划进行生物实验．在第1天上午，实验人员向培养皿中加入10个A的个体．从第1天开始，实验人员在每天下午向培养皿中加入该种药物．当加入药物时，A的每个个体立即产生1次如下的生理反应（设A的每个个体在当天的其他时刻均不发生变化，不同个体的生理反应相互独立）：①直接死亡；②分裂为2个个体，且这两种生理反应是等可能的．设第n天上午培养皿中A的个体数量为
．规定，．(1)求
，；(2)证明
；(3)已知
，求，并结合（2）说明其实际含义．附：对于随机变量X，
．
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202次组卷
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2卷引用：2024届福建省莆田市第一中学高三下学期5月模拟考试数学试题
5 . 甲、乙、丙三人进行传球游戏，每次投掷一枚质地均匀的正方体骰子决定传球的方式：当球在甲手中时，若骰子点数大于3，则甲将球传给乙，若点数不大于3，则甲将球保留继续投掷骰子；当球在乙手中时，若骰子点数大于4，则乙将球传给甲，若点数不大于4，则乙将球传给丙；当球在丙手中时，若骰子点数大于3，则丙将球传给甲，若骰子点数不大于3，则丙将球传给乙.初始时，球在甲手中.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷
次骰子后，记球在乙手中的概率为
，求数列
的通项公式；
(3)设
，求证：
.
(1)求三次投掷骰子后球在甲手中的概率；
(2)投掷
次骰子后，记球在乙手中的概率为，求数列的通项公式；(3)设
，求证：.
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解题方法
6 . 若
，
是样本空间
上的两个离散型随机变量，则称
是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为
，
，记
表示在中出现的概率，其中
．
(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．
①写出该二维离散型随机变量的所有可能取值；
②若
是①中的值，求
（结果用
，表示）；
(2)
称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：
．
，是样本空间上的两个离散型随机变量，则称是上的二维离散型随机变量或二维随机向量．设的一切可能取值为，，记表示在中出现的概率，其中．(1)将三个相同的小球等可能地放入编号为1，2，3的三个盒子中，记1号盒子中的小球个数为
，2号盒子中的小球个数为，则是一个二维随机变量．①写出该二维离散型随机变量
的所有可能取值；②若
是①中的值，求（结果用，表示）；(2)
称为二维离散型随机变量关于的边缘分布律或边际分布律，求证：．
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2024-03-29更新
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2032次组卷
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4卷引用：山东省潍坊市2024届高三一模数学试题
7 . 某课题实验小组共有来自
三个不同班级的45名学生，这45名学生中，
，B，C三个班级的人数比为4:3:2.
(1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为，求的分布列和数学期望；
(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为
，若共有5组进行发言，用
表示恰有3组来自研发实验的概率，证明:的最大值不会超过
.
三个不同班级的45名学生，这45名学生中，，B，C三个班级的人数比为4:3:2.(1)某次实验活动需从这45人中用分层抽样的方法随机抽取9人组成一个核心小组，再从这9人中随机抽取3人负责核心工作，记随机抽取的3人中来自B班级的人数为
，求的分布列和数学期望；(2)由于不同的实验需要的人数不同，所以为便于进行实验的配合，实验过程中有2人一组，也有多人一组(多于2人)，其中2人一组的为基础实验，其他的为研发实验，实验结束后进行实验结果交流.记发言的小组来自研发实验的概率为
，若共有5组进行发言，用表示恰有3组来自研发实验的概率，证明:的最大值不会超过.
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解题方法
8 . （1）在
的展开式中，求形如
（，
）的所有项的系数之和．
（2）证明：
展开式中的常数项为
．
（3）设
的小数部分为
，比较
与1的大小
的展开式中，求形如（，）的所有项的系数之和．（2）证明：
展开式中的常数项为．（3）设
的小数部分为，比较与1的大小
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181次组卷
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3卷引用：山西省忻州市2023-2024学年高二下学期5月联考数学试题
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解题方法
9 . “熵”常用来判断系统中信息含量的多少，也用来判断概率分布中随机变量的不确定性大小，一般熵越大表示随机变量的不确定性越明显．定义：随机变量对应取值
的概率为
，其单位为bit的熵为
，且
．（当
，规定
．）
(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为
，正面向上的次数为，分别比较
与
时对应
的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；
(2)若拋掷一枚质地均匀 的硬币次，设表示正面向上的总次数，
表示第次反面向上的次数（0或1）．
表示正面向上
次且第次反面向上
次的概率，如
时，
．对于两个离散的随机变量
，其单位为bit的联合熵记为
，且
．
（ⅰ）当时，求
的值；
（ⅱ）求证：
．
对应取值的概率为，其单位为bit的熵为，且．（当，规定．）(1)若抛掷一枚硬币1次，正面向上的概率为
，正面向上的次数为，分别比较与时对应的大小，并根据你的理解说明结论的实际含义；(2)若拋掷一枚
次，设表示正面向上的总次数，表示第次反面向上的次数（0或1）．表示正面向上次且第次反面向上次的概率，如时，．对于两个离散的随机变量，其单位为bit的联合熵记为，且．（ⅰ）当
时，求的值；（ⅱ）求证：
．
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2024-05-13更新
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1233次组卷
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2卷引用：江苏省南通、扬州、泰州七市2024届高三第三次调研测试数学试题
10 . 某市12月的天气情况有晴天，下雨，阴天3种，第2天的天气情况只取决于第1天的天气情况，而与之前的无关.若第1天为晴天，则第2天下雨的概率为
，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为
；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为
.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.
(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记
分别为该市12月第
天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：
为等比数列，并求出
.
，阴天的概率为；若第1天为下雨，则第2天晴天的概率为，阴天的概率为；若第1天为阴天，则第2天晴天的概率为，下雨的概率为.已知该市12月第1天的天气情况为下雨.(1)求该市12月第3天的天气情况为晴天的概率；
(2)记
分别为该市12月第天的天气情况为晴天､下雨和阴天的概率，证明：为等比数列，并求出.
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2024-01-18更新
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1433次组卷
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3卷引用：广东省肇庆市2024届高三第二次教学质量检测数学试题
