1 . 已知首项为1的数列满足.
(1)若，在所有中随机抽取2个数列，记满足的数列的个数为，求的分布列及数学期望；
(2)若数列满足：若存在，则存在且，使得.
（i）若，证明：数列是等差数列，并求数列的前项和；
（ii）在所有满足条件的数列中，求使得成立的的最小值.

3 . 对于求解方程的正整数解（，，）的问题，循环构造是一种常用且有效地构造方法．例如已知是方程的一组正整数解，则，将代入等式右边，得，变形得：，于是构造出方程的另一组解，重复上述过程，可以得到其他正整数解．进一步地，若取初始解时满足最小，则依次重复上述过程可以得到方程的所有正整数解．已知双曲线（，）的离心率为，实轴长为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)方程的所有正整数解为，且数列单调递增．
①求证：始终是4的整数倍；
②将看作点，试问的面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

8 . 2024年3月15日的“3·15”晚会后，为进一步加强市场计量监管，切实保护消费者合法权益，某市监管局对某夜市一条街内的电子计价秤进行检定，通过购买商品并比较商家称重和执法人员称重的结果偏差，超过误差范围则判定为缺斤少两．经检查，发现有10家商贩出现缺斤少两问题．执法人员已对这些商贩进行处罚，限期责令整改．以下是执法人员公布的10家“缺斤少两”商贩的部分数据：商贩称重重量为、执法人员称重重量为（单位：），．其他数据如下：．
(1)利用最小二乘法，求执法人员称重重量与商贩称重重量之间的线性回归方程（精确到小数点后2位，下同）；
(2)经核实，数据点严重偏离回归方程，去除该点后利用相同方法重新计算线性回归方程，证明：直线与直线斜率相等，并求直线的线性回归方程．
参考公式与数据：线性回归方程中斜率的最小二乘法估计公式为，且．

10 . 在信息理论中，和是两个取值相同的离散型随机变量，分布列分别为：，，，，，．定义随机变量的信息量，和的“距离”．
(1)若，求；
(2)已知发报台发出信号为0和1，接收台收到信号只有0和1．现发报台发出信号为0的概率为，由于通信信号受到干扰，发出信号0接收台收到信号为0的概率为，发出信号1接收台收到信号为1的概率为．
（ⅰ）若接收台收到信号为0，求发报台发出信号为0的概率；（用，表示结果）
（ⅱ）记随机变量和分别为发出信号和收到信号，证明：．