名校
解题方法
1 . 已知某系统由一个电源和并联的三个元件组成,在电源电压正常的情况下,至少一个元件正常工作才可保证系统正常运行,电源及各元件之间工作相互独立.
(1)电源电压(单位:)服从正态分布,且的累积分布函数为,求.
(2)在统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量(单位:天)表示某元件的使用寿命,服从指数分布,其累积分布函数为
.
(ⅰ)设,证明:;
(ⅱ)若第天只有元件发生故障,求第天系统正常运行的条件概率.
附:若随机变量服从正态分布,则,
,.
(1)电源电压(单位:)服从正态分布,且的累积分布函数为,求.
(2)在统计中,指数分布常用于描述事件发生的时间间隔.已知随机变量(单位:天)表示某元件的使用寿命,服从指数分布,其累积分布函数为
.
(ⅰ)设,证明:;
(ⅱ)若第天只有元件发生故障,求第天系统正常运行的条件概率.
附:若随机变量服从正态分布,则,
,.
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名校
解题方法
2 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间,某校食堂从开学第1天起,每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐,如果他第1天选择了米饭套餐,那么第2天选择米饭套餐的概率为;如果他第1天选择了面食套餐,那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为,
(i)证明:为等比数列;
(ii)证明:当时,.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率;
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为,
(i)证明:为等比数列;
(ii)证明:当时,.
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2024-01-26更新
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1715次组卷
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6卷引用:浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题
浙江省嘉兴市第一中学2024届高三第一次模拟测试数学试题山西省太原市2024届高三上学期期末学业诊断数学试题(已下线)第4讲:概率与数列的结合问题【讲】(已下线)题型27 5类概率统计大题综合解题技巧(已下线)专题3.5马尔科夫链模型(强化训练)-2023-2024学年高二数学下学期重难点突破及混淆易错规避(人教A版2019)福建省莆田第四中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
3 . 复平面是人类漫漫数学历史中的一副佳作,他以虚无缥缈的数字展示了人类数学最纯粹的浪漫.欧拉公式可以说是这座数学王座上最璀璨的明珠,相关的内容是,欧拉公式:,其中表示虚数单位,是自然对数的底数.数学家泰勒对此也提出了相关公式:其中的感叹号!表示阶乘,试回答下列问题:
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
(1)试证明欧拉公式.
(2)利用欧拉公式,求出以下方程的所有复数解.
①;②;
(3)求出角度的倍角公式(用表示,).
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4 . 在坐标平面内 的区域,随机生成一个横纵坐标均为整数的一个整点,记该点到坐标原点的距离是随机变量X
相关公式:
(1)当 时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ,试证明 .
相关公式:
(1)当 时,写出X的分布列和期望.
(2)记随机变量 与分别表示 的横纵坐标.
①求出 的期望
②现在实际上选取了四个点尝试运用样本的平均值去估计数学期望,以此来得到估计值 (四舍五入取整).
(3)记方差 ,试证明 .
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5 . 过点作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点;又过点作曲线的切线,切点为,设在轴上的投影是点,依此下去,得到一系列点,设点的横坐标是.
(1)求,并求数列的通项公式;
(2)求证:.
(1)求,并求数列的通项公式;
(2)求证:.
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名校
6 . 已知在一个不透明的盒中装有一个白球和两个红球(小球除颜色不同,其余完全相同),某抽球试验的规则如下:试验者在每一轮需有放回地抽取两次,每次抽取一个小球,从第一轮开始,若试验者在某轮中的两次均抽到白球,则该试验成功,并停止试验.否则再将一个黄球(与盒中小球除颜色不同,其余完全相同)放入盒中,然后继续进行下一轮试验.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验(若第三轮不成功,也停止试验),记甲进行的试验轮数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验(若第轮不成功,也停止试验),记乙在第轮使得试验成功的概率为,则乙能试验成功的概率为,证明:.
(1)若规定试验者甲至多可进行三轮试验(若第三轮不成功,也停止试验),记甲进行的试验轮数为随机变量,求的分布列和数学期望;
(2)若规定试验者乙至多可进行轮试验(若第轮不成功,也停止试验),记乙在第轮使得试验成功的概率为,则乙能试验成功的概率为,证明:.
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2024-01-18更新
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3160次组卷
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7卷引用:浙江省湖州市第一中学2024届高三下学期新高考数学模拟试题
7 . 杭州亚运会最终确定延期至2023年9月23日至10月8日举行,某校就此热点举办了一场迎亚运知识竞赛,将100人的成绩整理成下表:
(1)从不低于70分的学生中选出1人,如果他是男生,求该学生成绩在80分以上(含80分)的概率;
(2)已知某生成绩低于70分,设该生成绩为,求他的成绩的分布列与期望;
(3)假设表示事件“学校举办亚运知识培训”,表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”,,一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明:.
分数 | ||||||||||||
男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | 男 | 女 | |
频率/ 组距 | 0.007 | 0.003 | 0.009 | 0.006 | 0.018 | 0.007 | 0.028 | 0.007 | 0.009 | 0.001 | 0.003 | 0.002 |
(2)已知某生成绩低于70分,设该生成绩为,求他的成绩的分布列与期望;
(3)假设表示事件“学校举办亚运知识培训”,表示事件“某学生对亚运知识产生兴趣”,,一般来说在学校举办亚运知识培训的情况下学生对亚运知识产生兴趣的概率会超过不举办培训的概率.证明:.
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2023-04-21更新
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344次组卷
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2卷引用:浙江省杭州地区(含周边)重点中学2022-2023学年高二下学期期中联考数学试题
名校
解题方法
8 . 马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型,也是机器学习和人工智能的基石,在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为:假设我们的序列状态是…,,,,,…,那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态,即.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,赌博过程如下图的数轴所示.当赌徒手中有n元(,)时,最终输光的概率为 ,请回答下列问题:
(1)请直接写出与的数值.
(2)证明是一个等差数列,并写出公差d.
(3)当时,分别计算,时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.
现实生活中也存在着许多马尔科夫链,例如著名的赌徒模型.
假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏,每一局赌徒赌赢的概率为,且每局赌赢可以赢得1元,每一局赌徒赌输的概率为,且赌输就要输掉1元.赌徒会一直玩下去,直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏:一种是手中赌金为0元,即赌徒输光;一种是赌金达到预期的B元,赌徒停止赌博.记赌徒的本金为,赌博过程如下图的数轴所示.当赌徒手中有n元(,)时,
(1)请直接写出与的数值.
(2)证明是一个等差数列,并写出公差d.
(3)当时,分别计算,时,的数值,并结合实际,解释当时,的统计含义.
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2023-04-06更新
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11038次组卷
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21卷引用:浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题
浙江省杭州市2023届高三下学期教学质量检测(二模)数学试题(已下线)专题08 概率统计及计数原理(已下线)专题10 计数原理与概率统计(理科)(已下线)模块二 专题4 条件概率与全概率公式(已下线)押新高考第19题 概率统计江西省景德镇一中2022-2023学年高二(19班)下学期期中考试数学试题湖南师范大学附属中学2023届高三三模数学试题(已下线)第四篇 概率与统计 专题6 随机游走与马尔科夫过程 微点1 随机游走与马尔科夫链广东省佛山市南海区第一中学2024届高三上学期10月月考数学试题(已下线)重难点突破01 概率与统计的综合应用(十八大题型)-3(已下线)概 率辽宁省沈阳市第二中学2024届高三下学期开学考试数学试题专题14条件概率与全概率公式(已下线)专题03 条件概率与全概率公式(2)(已下线)专题04 概率统计大题(已下线)专题8-2分布列综合归类-2(已下线)湖南省郴州市2024届高三一模数学试题变式题17-22(已下线)专题6 全概率与数列结合问题河南省信阳市新县高级中学2024届高三下学期适应性考试(八)数学试题单元测试B卷——第七章 随机变量及其分布广东省珠海市第二中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试题
名校
9 . 人口老龄化加剧的背景下,我国先后颁布了一系列生育政策,根据不同政策要求,分为两个时期Ⅰ和Ⅱ.根据部分调查数据总结出如下规律:对于同一个家庭,在Ⅰ时期内生孩人,在Ⅱ时期生孩人,(不考虑多胞胎)生男生女的概率相等.服从0-1分布且.分布列如下图:
现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子,则在Ⅱ时期生2个孩子概率为;若在Ⅰ时期生了1个女孩,则在时期生2个孩子概率为;若在Ⅰ时期生了1个男孩,则在Ⅱ时期生2个孩子概率为,样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为(针对普遍家庭).
(1)求的期望与方差;
(2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层,样本点之比为,分别为与,,总体样本点与两个分层样本点均值分别为,,,方差分别为,,,证明:,并利用该公式估算题设样本总体的方差.
0 | 1 | 2 | |
(1)求的期望与方差;
(2)由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层,样本点之比为,分别为与,,总体样本点与两个分层样本点均值分别为,,,方差分别为,,,证明:,并利用该公式估算题设样本总体的方差.
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2023-08-02更新
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1211次组卷
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8卷引用:浙江省名校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
浙江省名校联盟2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题广东省深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题湖北省武昌实验中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题(已下线)第二节 用样本的数字特征估计总体 B卷素养养成卷 一轮复习点点通(已下线)专题03 条件概率与全概率公式(4)(已下线)高二下学期期末数学试卷(巩固篇)-2023-2024学年高二数学举一反三系列(人教A版2019选择性必修第三册)重庆市第一中学校2023-2024学年高二下学期5月月考数学试题(已下线)专题02概率统计期末10种常考题型归类【好题汇编】-备战2023-2024学年高二数学下学期期末真题分类汇编(人教B版2019选择性必修第二册)
解题方法
10 . 某大学有A,B两个餐厅为学生提供午餐与晚餐服务,甲、乙两位学生每天午餐和晚餐都在学校就餐,近100天选择餐厅就餐情况统计如下:
(1)假设甲、乙选择餐厅相互独立,用频率估计概率.计算某天甲同学午餐去A餐厅用餐的情况下晚餐去B餐厅用餐的概率;
(2)某天午餐,甲和乙两名同学准备去A,B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”,事件N=“乙选择A餐厅就餐”,,.若,证明:事件M和N相互独立.
选择餐厅情况午餐,晚餐 | ||||
甲 | 30天 | 20天 | 40天 | 10天 |
乙 | 20天 | 25天 | 15天 | 40天 |
(2)某天午餐,甲和乙两名同学准备去A,B这两个餐厅中某一个就餐.设事件M=“甲选择A餐厅就餐”,事件N=“乙选择A餐厅就餐”,,.若,证明:事件M和N相互独立.
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