1 . 已知是各项均为正整数的无穷递增数列，对于，定义集合，设为集合中的元素个数，若时，规定.
(1)若，写出及的值；
(2)若数列是等差数列，求数列的通项公式；
(3)设集合，求证：且.

2 . 设集合为元数集，若的2个非空子集满足：，则称为的一个二阶划分．记中所有元素之和为中所有元素之和为．
(1)若，求的一个二阶划分，使得；
(2)若．求证：不存在的二阶划分满足；
(3)若为的一个二阶划分，满足：①若，则；②若，则．记为符合条件的的个数，求的解析式．

3 . 正方形位于平面直角坐标系上，其中，，，．考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）：逆时针旋转．（2）：顺时针旋转．（3）：关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是，，，四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换之后，顶点从移动到，然后再作一次变换之后，移动到．对原来的正方形按，，，的顺序作次变换记为，其中，．如果经过次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是-恒等变换．例如，是一个3-恒等变换．则3-恒等变换共________种；对于正整数，-恒等变换共________种．

4 . 已知数列是无穷数列.若，则称为数列的1阶差数列；若，则称数列为数列的2阶差数列；以此类推，可得出数列的阶差数列，其中.
(1)若数列的通项公式为，求数列的2阶差数列的通项公式；
(2)若数列的首项为1，其一阶差数列的通项公式为，求数列的通项公式；
(3)若数列的通项公式为，写出数列的阶差数列的通项公式，并说明理由.

5 . 已知行列的数表中，对任意的，，都有.若当时，总有，则称数表A为典型表，此时记.
(1)若数表，，请直接写出B，C是否是典型表；
(2)当时，是否存在典型表A使得，若存在，请写出一个A；若不存在，请说明理由；
(3)求的最小值.

6 . 若数列的前项和为，且满足等式.
（1）求数列的通项公式；
（2）能否在数列中找到这样的三项，它们按原来的顺序构成等差数列？说明理由；
（3）令，记函数的图像在轴上截得的线段长为，设，求，并证明：.

7 . 对，定义．
（1）求的最小值；
（2），有恒成立，求A的最大值；
（3）求证：不存在，且m＞n，使得为恒定常数．