名校
解题方法
1 . 设k是正整数，A是
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有
，则称A具有性质
．
(1)试判断集合
和
是否具有性质
？并说明理由．
(2)若
．证明：A不可能具有性质
．
(3)若
且A具有性质
和
．求A中元素个数的最大值．
的非空子集（至少有两个元素），如果对于A中的任意两个元素x，y，都有，则称A具有性质．(1)试判断集合
和是否具有性质？并说明理由．(2)若
．证明：A不可能具有性质．(3)若
且A具有性质和．求A中元素个数的最大值．
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解题方法
2 . 已知数列
，
，…，
的各项均为正整数．设集合，
记
的元素个数为
．
(1)若数列1，1，3，2，求集合，并写出的值；
(2)若
是递增数列，求证：“
”的充要条件是“为等差数列”；
(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
，，…，的各项均为正整数．设集合，记的元素个数为．(1)若数列
1，1，3，2，求集合，并写出的值；(2)若
是递增数列，求证：“”的充要条件是“为等差数列”；(3)若
，数列由1，2，3，…，11，22这12个数组成，且这12个数在数列中每个至少出现一次，求的最大值．
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解题方法
3 . 设集合
，其中
.若集合
满足对于任意的两个非空集合
，都有集合的所有元素之和与集合
的元素之和不相等，则称集合具有性质
.
(1)判断集合
是否具有性质，并说明理由；
(2)若集合
具有性质，求证：
；
(3)若集合
具有性质，求
的最大值.
，其中.若集合满足对于任意的两个非空集合，都有集合的所有元素之和与集合的元素之和不相等，则称集合具有性质.(1)判断集合
是否具有性质，并说明理由；(2)若集合
具有性质，求证：；(3)若集合
具有性质，求的最大值.
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4 . 对于数集
（
为给定的正整数），其中
，如果对任意
，都存在
，使得
，则称
具有性质．
(1)若
，且集合
具有性质，求
的值；
(2)若具有性质，求证：
；且若
成立，则
；
(3)若具有性质，且
为常数，求数列
的通项公式．
（为给定的正整数），其中，如果对任意，都存在，使得，则称具有性质．(1)若
，且集合具有性质，求的值；(2)若
具有性质，求证：；且若成立，则；(3)若
具有性质，且为常数，求数列的通项公式．
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名校
5 . 已知数集
具有性质
：对任意
，
与
两数中至少有一个属于
．
(1)分别判断数集
与
是否具有性质；
(2)求证：
；
(3)给定正整数
，求证：，，
，
组成等差数列．
具有性质：对任意，与两数中至少有一个属于．(1)分别判断数集
与是否具有性质；(2)求证：
；(3)给定正整数
，求证：，，，组成等差数列．
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2023-12-20更新
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404次组卷
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4卷引用：专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练
（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编北京市海淀区中央民族大学附中2024届高三上学期12月月考数学试题北京市北京师范大学燕化附属中学2023-2024学年高二下学期期中考试数学试卷
6 . 在
）个实数组成的n行n列的数表中，
表示第i行第j列的数，记
，
若∈
，且
两两不等，则称此表为“n阶H表”，记
(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数
且
，求证：
为偶数；
(3)求证：不存在“5阶H表”.
）个实数组成的n行n列的数表中，表示第i行第j列的数，记，若∈，且两两不等，则称此表为“n阶H表”，记(1)请写出一个“2阶H表”；
(2)对任意一个“n阶H表”，若整数
且，求证：为偶数；(3)求证：不存在“5阶H表”.
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2023-03-14更新
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866次组卷
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5卷引用：北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之压轴创新题
北京市城六区2018届高三一模理科数学解答题分类汇编之压轴创新题（已下线）专题1 集合新定义题(九省联考第19题模式）练（已下线）微考点8-1 新高考新题型19题新定义题型精选北京市第一0一中学2023届高三数学统练三试题北京市第十一中学2023届高三三模（5月）数学试题
7 . 定义1：通常我们把一个以集合作为元素的集合称为族（collection）.
定义2：集合上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族
，它满足以下条件：（1）
和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.
(1)族
，族
，判断族与族
是否为集合的拓扑；
(2)设有限集为全集
（i）证明：
；
（ii）族为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族
为集合上的一个拓扑.
定义2：集合
上的一个拓扑（topology）乃是的子集为元素的一个族，它满足以下条件：（1）和在中；（2）的任意子集的元素的并在中；（3）的任意有限子集的元素的交在中.(1)族
，族，判断族与族是否为集合的拓扑；(2)设有限集
为全集（i）证明：
；（ii）族
为集合上的一个拓扑，证明：由族所有元素的补集构成的族为集合上的一个拓扑.
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名校
解题方法
8 . 已知
元正整数集合
满足：
，且对任意
，都有
(1)若
，写出所有满足条件的集合；
(2)若
恰有
个正约数，求证：
；
(3)求证：对任意的
，都有
.
元正整数集合满足：，且对任意，都有(1)若
，写出所有满足条件的集合；(2)若
恰有个正约数，求证：；(3)求证：对任意的
，都有.
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名校
解题方法
9 . 设A是正整数集的一个非空子集，如果对于任意
，都有
或
，则称A为自邻集.记集合
的所有子集中的自邻集的个数为.
(1)直接写出
的所有自邻集；
(2)若
为偶数且
，求证：
的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；
(3)若
，求证：
.
，都有或，则称A为自邻集.记集合的所有子集中的自邻集的个数为.(1)直接写出
的所有自邻集；(2)若
为偶数且，求证：的所有含5个元素的子集中，自邻集的个数是偶数；(3)若
，求证：.
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2023-05-28更新
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707次组卷
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11卷引用：北京卷专题02集合（解答题）
北京卷专题02集合（解答题）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）北京市西城区2021届高三5月二模数学试题北京一零一中学2023届高三下学期数学统练四试题北京市第一0一中学2022-2023学年高三下学期统练数学试卷（四）（已下线）高一上学期第一次月考解答题压轴题50题专练-举一反三系列北京市东城区景山学校2024届高三上学期12月月考数学试题北京市第五十七中学2021-2022学年高二上学期期中检测数学试题北京市第二十中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题北京市北京师范大学第二附属中学2023-2024学年高二上学期期中测试数学试题北京市第二中学2023-2024学年高二上学期12月第二学段考试数学试卷
10 . 数列
的前n项
组成集合
，从集合中任取
个数，其所有可能的k个数的乘积的和为
（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列
，当
时，
时，
；
(1)若集合
，求当
时，
的值；
(2)若集合
，证明：
时集合
的
与
时集合
的（为了以示区别，用
表示）有关系式
，其中
；
(3)对于（2）中集合．定义
，求
（用n表示）．
的前n项组成集合，从集合中任取个数，其所有可能的k个数的乘积的和为（若只取一个数，规定乘积为此数本身），例如：对于数列，当时，时，；(1)若集合
，求当时，的值；(2)若集合
，证明：时集合的与时集合的（为了以示区别，用表示）有关系式，其中；(3)对于（2）中集合
．定义，求（用n表示）．
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2023-05-23更新
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539次组卷
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4卷引用：第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点1 建立递推关系求通项公式
（已下线）第三篇 数列、排列与组合 专题1 建立递推关系求通项公式 微点1 建立递推关系求通项公式（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编2017届上海市浦东新区高考三模数学试题2017届上海市浦东新区高三下学期5月练习数学试题
