1 . 设为非空集合，令，则的任意子集都叫做从到的一个关系（），简称上的关系．例如时，，，，等都是上的关系．设为非空集合上的关系．如果满足：
①（自反性）若，有，则称在上是自反的；
②（对称性）若，有，则称在上是对称的；
③（传递性）若，，有，则称在上是传递的；
称为上的等价关系．
(1)已知．用列举法写出，然后写出上的关系有多少个，最后写出上的所有等价关系．（只需写出结果）
(2)设和是某个非空集合上的关系，证明：
（ⅰ）若，是自反的和对称的，则也是自反的和对称的；
（ⅱ）若，是传递的，则也是传递的．
(3)若给定的集合有个元素，为的非空子集，满足且两两交集为空集．求证：为上的等价关系．

2 . 已知集合，其中且，非空集合，记为集合B中所有元素之和，并规定当中只有一个元素时，．
(1)若，写出所有可能的集合B；
(2)若，且是12的倍数，求集合B的个数；
(3)若，证明：存在非空集合，使得是的倍数．

3 . 已知常数，.
(1)证明：对任意的，；
(2)若，求实数的取值范围；
(3)若，求实数的值.

4 . （1）判断并证明集合和集合之间的关系；
（2）判断并证明是的什么条件.（“充分非必要､必要非充分、充要、既非充分又非必要”中选择）

5 . 对于非空有限整数集X，，定义，对现有两个非空有限整数集A，B，已知且．
(1)当时求集合B；
(2)证明：；
(3)当且时，任取构造函数问：当a，b取何值时，的最小值最小?

6 . 已知函数.
(1)当时，求的单调递增区间；
(2)设直线l为曲线的切线，当时，记直线l的斜率的最小值为，求的最小值；
(3)当时，设，，求证：.

7 . 已知集合.
(1)判断是否属于集合A；
(2)若正整数能表示为某个整数的平方，，证明：；
(3)若集合，证明：.

8 . 立德中学高一数学兴趣小组利用每周五开展课外探究拓展活动，在最近的一次活动中，他们定义一种新运算“”：，，通过进一步探究，发现该运算有许多优美的性质：如，等等．
(1)对任意实数，请判断是否成立？若成立请证明，若不成立，请举反例说明；
(2)已知函数，函数，若对任意的，存在，使得，求实数的取值范围．