1 . 求证：一元二次方程有两个实数根，且有一根为的充要条件是．

2 . 集合是由适合以下性质的函数构成的，对于定义域内任意两个不相等的实数，，都有.
(1)试判断，是否在集合中，并说明理由；
(2)设（），求证：的充要条件是；
(3)设且定义域为，值域为，，试写出一个满足以上条件的函数的解析式（只要求写出结果）.

4 . 已知数列是由正整数组成的无穷数列，若存在常数，使得，对任意的成立，则称数列具有性质．
（1）分别判断下列数列是否具有性质；（直接写出结论）①；②
（2）若数列满足，求证：“数列具有性质”是“数列为常数列的充分必要条件；
（3）已知数列中，且．若数列具有性质，求数列的通项公式．

5 . 已知的三条边为，求证：是等边三角形的充要条件是．

6 . 若无穷数列满足：只要，必有，则称具有性质.
（1）若具有性质，且，求；
（2）若无穷数列是等差数列，无穷数列是公比为正数的等比数列，，，判断是否具有性质，并说明理由；
（3）设是无穷数列，已知，求证：“对任意都具有性质”的充要条件为“是常数列”.

7 . 已知函数，．
（1）当时，求函数， 的最大值；
（2）令，求证：对任意给定的非零实数 ，存在唯一的实数使得 成立的充要条件是．

8 . 已知数列{a_n}的前n项和S_n＝3ⁿ⁺¹－t ，求证：数列{a_n}是等比数列的充要条件为t＝3．

9 . （1）已知是实数，集合，.求证：“”是“”的充要条件.
（2）设.用反证法证明命题“若，则或.”

10 . 已知数列是无穷数列，满足.
（1）若，，求，，的值；
（2）求证：“数列中存在使得”是“数列中有无数多项是1”的充要条件；
（3）求证：存在正整数k，使得.