名校
1 . 已知集合
的子集个数为
.
(1)求的值；
(2)若
的三边长为
，证明：为等边三角形的充要条件是
.
的子集个数为.(1)求
的值；(2)若
的三边长为，证明：为等边三角形的充要条件是.
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2023-10-13更新
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136次组卷
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8卷引用：江西省吉安市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
名校
解题方法
2 . 已知二次函数
.
(1)若等式
恒成立，其中，
，
为常数，求
的值；
(2)证明：
是方程
有两个异号实根的充要条件；
(3)若对任意
，不等式
恒成立，求
的最大值.
.(1)若等式
恒成立，其中，，为常数，求的值；(2)证明：
是方程有两个异号实根的充要条件；(3)若对任意
，不等式恒成立，求的最大值.
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2023-10-09更新
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755次组卷
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4卷引用：上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高一上学期期中数学试题上海市莘庄中学2023-2024学年高一上学期10月月考数学试题四川省仁寿第一中学校南校区2023-2024学年高一上学期第二次质量检测（10月）数学试题（已下线）高一上学期期末考试解答题压轴题50题专练-举一反三系列
解题方法
3 . 已知定义在R上的函数
，
(1)求证：
是图象关于直线
对称的充要条件；
(2)若函数满足
，且在
单调递增，求解不等式
.
，(1)求证：
是图象关于直线对称的充要条件；(2)若函数
满足，且在单调递增，求解不等式.
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4 . 记
表示数组：
中的最大值.
(1)判断函数
，的奇偶性，并说明理由；
(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；
(3)已知函数
，
与
都定义在实数集
上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：
是单调递增函数的充要条件是：对任意，
，
.
表示数组：中的最大值.(1)判断函数
，的奇偶性，并说明理由；(2)讨论函数
，的基本性质：奇偶性、单调性、周期性、最值与零点（不需要证明）；(3)已知函数
，与都定义在实数集上，且函数是单调递增函数，是周期函数，是单调递减函数，求证：是单调递增函数的充要条件是：对任意，，.
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名校
5 . 求证：等式
对任意实数
恒成立的充要条件是
.
对任意实数恒成立的充要条件是.
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2023-01-04更新
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631次组卷
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7卷引用：上海市复旦中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
上海市复旦中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题（已下线）第04讲 充分条件与必要条件-【暑假自学课】（人教A版2019必修第一册）（已下线）专题1.4 充分条件与必要条件-举一反三系列（已下线）第2章 常用逻辑用语 章末题型归纳总结（1）-【帮课堂】（苏教版2019必修第一册）（已下线）专题2.2 充分条件、必要条件、充要条件（1）【帮课堂】苏教版2019必修第一册（已下线）高一上学期期中复习【第一章 集合与常用逻辑用语】九大题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列（（已下线）专题05等式与不等式的性质-【倍速学习法】（沪教版2020必修第一册）
6 . 已知函数
的定义域为
，若存在实常数
及
，对任意
，当
且
时，都有
成立，则称函数具有性质
，集合
叫做函数的
性质集．
(1)判断函数
是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数
具有性质，求
的性质集；
(3)已知函数
不存在零点，且当
时具有性质
（其中
，
，若
，求证：数列
为等比数列的充要条件是
或
．
的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质，集合叫做函数的性质集．(1)判断函数
是否具有性质，并说明理由；(2)若函数
具有性质，求的性质集；(3)已知函数
不存在零点，且当时具有性质（其中，，若，求证：数列为等比数列的充要条件是或．
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名校
解题方法
7 . 令
.
(1)若
，
，试写出
的解析式并求的最小值；
(2)已知是严格增函数，是周期函数，是严格减函数，，求证：
是严格增函数的充要条件：对任意的，，.
.(1)若
，，试写出的解析式并求的最小值；(2)已知
是严格增函数，是周期函数，是严格减函数，，求证：是严格增函数的充要条件：对任意的，，.
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真题
名校
8 . 已知
，函数
．
(1)当
时，若对任意
都有
，证明：
；
(2)当
时，证明：对任意
的充要条件是
；
(3)当
时，讨论：对任意的充要条件．
，函数．(1)当
时，若对任意都有，证明：；(2)当
时，证明：对任意的充要条件是；(3)当
时，讨论：对任意的充要条件．
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2022-11-09更新
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347次组卷
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3卷引用：上海市实验学校2023-2024学年高一上学期期中数学试题
名校
解题方法
9 . 设椭圆Γ：
的左、右焦点分别为
．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．
(1)若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距
；
(2)求证：椭圆Γ上切点为
的切线方程为
；
(3)记
到直线l的距离为
，
到直线l的距离为
，判断“
”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．
的左、右焦点分别为．直线l若与椭圆Γ只有一个公共点P，则称直线l为椭圆Γ的切线，P为切点．(1)若直线l：y＝x+2与椭圆相切，求椭圆的焦距
；(2)求证：椭圆Γ上切点为
的切线方程为；(3)记
到直线l的距离为，到直线l的距离为，判断“”是“直线l与椭圆Γ相切”的什么条件？请给出你的结论和理由．
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2022-11-06更新
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234次组卷
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4卷引用：上海市上海交通大学附属中学2022届高三下学期期中数学试题
上海市上海交通大学附属中学2022届高三下学期期中数学试题（已下线）专题14 圆锥曲线切线方程 微点3 圆锥曲线切线方程综合训练（已下线）专题12平面解析几何必考题型分类训练-42.1 椭圆 测试卷-2022-2023学年高二上学期数学北师大版（2019）选择性必修第一册
名校
10 . 对于无穷数列
，若存在正整数
，使得
对一切正整数
都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.
(1)已知无穷数列是周期为
的周期数列，且
，
，
是数列的前项和，若
对一切正整数恒成立，求常数
的取值范围；
(2)若无穷数列和
满足
，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且
”；
(3)若无穷数列和满足，且
，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
，若存在正整数，使得对一切正整数都成立，则称无穷数列是周期为的周期数列.(1)已知无穷数列
是周期为的周期数列，且，，是数列的前项和，若对一切正整数恒成立，求常数的取值范围；(2)若无穷数列
和满足，求证：“是周期为的周期数列”的充要条件是“是周期为的周期数列，且”；(3)若无穷数列
和满足，且，是否存在非零常数，使得是周期数列？若存在，请求出所有满足条件的常数；若不存在，请说明理由.
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2022-11-05更新
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710次组卷
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7卷引用：上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题
上海市晋元高级中学2022-2023学年高二上学期期中数学试题（已下线）高二下期中真题精选（压轴40题专练）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）（已下线）期中真题必刷压轴50题专练-【满分全攻略】2023-2024学年高二数学同步讲义全优学案（沪教版2020必修第三册）（已下线）专题17 数列探索型、存在型问题的解法 微点2 数列存在型问题的解法（已下线）第4章 数列 单元综合检测（重点）-2023-2024学年高二数学同步精品课堂（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）专题22 新高考新题型第19题新定义压轴解答题归纳（9大核心考点）（讲义）（已下线）微考点4-1 新高考新试卷结构压轴题新定义数列试题分类汇编
