名校
解题方法
1 . 设
是定义在R上的函数，对任意
，恒有
，当
时，有
.
(1)求证：
，且当
时，
；
(2)证明：在R上单调递减.
是定义在R上的函数，对任意，恒有，当时，有.(1)求证：
，且当时，；(2)证明：
在R上单调递减.
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名校
2 . 若函数
对任意的
均有
，则称函数具有性质
.
(1)判断下面函数①
；②
是否具有性质，并说明理由；
(2)全集为
，函数
，试判断并证明函数
是否具有性质；
(3)若函数具有性质，且
，求证：是否对任意
，
均有
对任意的均有，则称函数具有性质.(1)判断下面函数①
；②是否具有性质，并说明理由；(2)全集为
，函数，试判断并证明函数是否具有性质；(3)若函数
具有性质，且，求证：是否对任意，均有
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2021-11-23更新
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863次组卷
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2卷引用：上海市七宝中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
2022高三·全国·专题练习
解题方法
3 . 已知函数
是奇函数，且
．
(1)求的解析式；
(2)判断函数的单调性，并证明你的结论；
(3)若
，
，且
．求证
．
是奇函数，且．(1)求
的解析式；(2)判断函数
的单调性，并证明你的结论；(3)若
，，且．求证．
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名校
解题方法
4 . 已知函数
对任意x，
，总有
，且当时，都有
成立，且
.
（1）求证：函数是奇函数；
（2）利用函数的单调性定义证明在R上单调递减；
（3）若不等式
对任意的
恒成立，求实数m的取值范围.
对任意x，，总有，且当时，都有成立，且.（1）求证：函数
是奇函数；（2）利用函数的单调性定义证明
在R上单调递减；（3）若不等式
对任意的恒成立，求实数m的取值范围.
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2021-10-28更新
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885次组卷
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3卷引用：内蒙古赤峰二中2021-2022学年高一上学期第一次月考数学（理）试题
20-21高二下·上海浦东新·期末
名校
5 . 已知定义在R上的函数
与
.
（1）对于任意满足
的实数p，q，r均有
并判断函数的奇偶性，并说明理由
（2）函数与（均为奇函数，在
上是增函数，在
上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.
（3）函数与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当
为整数.求证：对一切，
为整数.
与.（1）对于任意满足
的实数p，q，r均有并判断函数的奇偶性，并说明理由（2）函数
与（均为奇函数，在上是增函数，在上是增函数，试判断函数与在R上是否是增函数？如果是请证明，如果不是请说明理由.（3）函数
与均为单调递增的一次函数，为整数当且仅当为整数.求证：对一切，为整数.
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6 . 已知
.
（1）试比较a与b的大小，并证明你的结论；
（2）求证：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是
.
.（1）试比较a与b的大小，并证明你的结论；
（2）求证：对任意正数x，y以a，b，c为三边可构成三角形的充要条件是
.
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名校
解题方法
7 . 已知函数
（a是常数）.
(1)当a=1时，求证以下两个结论∶
（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.
（ii）f（x）的图像始终在
的图像的下方.
(2)设函数
，若对任意
，总有
成立，求a的取值范围.
（a是常数）.(1)当a=1时，求证以下两个结论∶
（i）f（x）为增函数（用单调性的定义证明）.
（ii）f（x）的图像始终在
的图像的下方.(2)设函数
，若对任意，总有成立，求a的取值范围.
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2021-12-02更新
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429次组卷
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2卷引用：福建省福州市福建师范大学附属中学2021-2022学年高一上学期期中考试数学试题
名校
解题方法
8 . 函数
.
(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；
(2)若
，
，求证：
；
(3)若
，且，求证：
.
.(1)判断并用定义证明函数f（x）在（0，1）上的单调性；
(2)若
，，求证：；(3)若
，且，求证：.
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2021-11-22更新
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441次组卷
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4卷引用：浙江省杭州市第二中学滨江校区2021-2022学年高一上学期期中数学试题
浙江省杭州市第二中学滨江校区2021-2022学年高一上学期期中数学试题海南省海口四中2022-2023学年高一上学期期中考试数学试题（已下线）专题3.5 函数性质及其应用大题专项训练【六大题型】-举一反三系列（已下线）高一上学期期中复习【第三章 函数的概念与性质】十大题型归纳（拔尖篇）-举一反三系列
名校
9 . 对于定义域为D的函数，如果存在区间
，同时满足：①在
内是单调函数，②当
时，的取值范围
，则称是该函数的“k阶和谐区间”.
(1)证明：
是函数
的一个“3阶和谐区间”；
(2)求证：函数
不存在“2阶和谐区间”；
(3)已知函数
存在“1阶和谐区间，当a变化时，求出
的最大值.
，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数，②当时，的取值范围，则称是该函数的“k阶和谐区间”.(1)证明：
是函数的一个“3阶和谐区间”；(2)求证：函数
不存在“2阶和谐区间”；(3)已知函数
存在“1阶和谐区间，当a变化时，求出的最大值.
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名校
10 . 设函数
.
(1)求
的值；
(2)判断函数的奇偶性并证明；
(3)求证：
.
.(1)求
的值；(2)判断函数
的奇偶性并证明；(3)求证：
.
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2021-11-16更新
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200次组卷
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2卷引用：广东省广州市番禺区实验中学2021-2022学年高一上学期期中数学试题
