1 . 已知函数.
（1）证明：函数是偶函数；
（2）记，，求的值；
（3）若实数满足，求证：.

2 . 已知函数的定义域为，值域为，且对任意，，都有，.
（Ⅰ）求的值，并证明为奇函数；
（Ⅱ）若时，，且，判断的单调性（不要求证明），并利用判断结果解不等式.

3 . 已知集合，.
（1）求证：；
（2）是周期函数，据此猜想中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）是奇函数，据此猜想中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论.

4 . 定义在R上的函数，当，且对任意，有.
(1)求证：对任意，都有；
(2)判断在R上的单调性，并用定义证明；
(3)求不等式的解集.

5 . 对于定义域为D的函数y=f（x），如果存在区间[m，n]D，同时满足：
①f（x）在[m，n]内是单调函数；
②当定义域是[m，n]时，f（x）的值域也是[m，n]．则称[m，n]是该函数的“和谐区间”．
（1）证明：[0，1]是函数y=f（x）=x²的一个“和谐区间”．
（2）求证：函数不存在“和谐区间”．
（3）已知：函数（a∈R，a≠0）有“和谐区间”[m，n]，当a变化时，求出n﹣m的最大值．

6 . 定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是上的有界函数，其中称为函数的上界．
（）判断函数，是否是有界函数，请写出详细判断过程．
（）试证明：设，，若，在上分别以，为上界，求证：函数在上以为上界．
（）若函数在上是以为上界的有界函数，求实数的取值范围．

7 . 已知定理：“若为常数，满足，则函数的图象关于点中心对称”．设函数，定义域为A．
（1）试证明的图象关于点成中心对称；
（2）当时，求证：；
（3）对于给定的，设计构造过程：，…，．如果，构造过程将继续下去；如果，构造过程将停止．若对任意，构造过程可以无限进行下去，求a的值．

8 . 已知定义在R上的函数对任意R 都有
，且当时，
（1）求证：为奇函数；
（2）判断在R上的单调性，并用定义证明；
（3）若，对任意R恒成立，求实数k的取值范围．

10 . 设是定义在区间上的函数，如果对任意的，有，则称为区间上的下凸函数；如果有，则称为区间上的上凸函数．
(1)已知函数，求证：
（ⅰ）；
（ⅱ）函数为下凸函数；
(2)已知函数，其中实数，且函数在区间内为上凸函数，求实数的取值范围．