1 . 已知函数．
(1)若，求证：当时，
(2)若，求证：在上有且仅有三个零点，，（），且．

3 . 设是定义在上的奇函数，且对任意实数，恒有，当时.
(1)求证：是周期函数；
(2)当时，求的解析式；
(3)求的值.

4 . 对于函数的导函数，若在其定义域内存在实数，，使得成立，则称是“跃点”函数，并称是函数的“跃点”．
(1)若，，求证：是“3跃点”函数；
(2)若是定义在是的“1跃点”函数，且在其定义域上有两个不同的“1跃点”，求实数的范围；
(3)若，是“1跃点”函数，且在其定义域内恰存在一个“1跃点”，求实数的范围．

5 . 已知函数.
(1)求的定义域；
(2)求证：函数为偶函数；
(3)求的值.

7 . 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，
(1)求证：在定义域内是严格减函数
(2)若对恒成立，求实数的取值范围.

8 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，为了纪念他，人们把函数（）称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数. 已知：，（，）

(1)若，，，求的值；
(2)若，，，求证：；
(3)设，求S除以2023的余数.

9 . 已知函数，．
(1)求证：函数为偶函数；
(2)集合，，若，求实数a的取值范围．

10 . 已知函数（，且）在上的最大值比最小值大2．
(1)求的值；
(2)设函数，求证：为奇函数的充要条件是．