3 . 已知函数，若对于任意的实数都能构成三角形的三条边长，则称函数为上的“完美三角形函数”.
(1)记在上的最大值、最小值分别为，试判断“”是“为上的“完美三角形函数”的什么条件？不需要证明；
(2)设向量，若函数为上的“完美三角形函数”，求实数的取值范围；
(3)已知函数为（为正的实常数）上的“完美三角形函数”.函数的图象上，是否存在不同的三个点，它们在以轴为实轴，轴为虚轴的复平面上所对应的复数分别为，满足，且？若存在，请求出相应的复数，若不存在，请说明理由.

5 . 对于定义域为R的函数，若存在常数，使得是以为周期的周期函数，则称为“正弦周期函数”，且称为其“正弦周期”.
(1)判断函数是否为“正弦周期函数”，并说明理由；
(2)已知是定义在R上的严格增函数，值域为R，且是以为“正弦周期”的“正弦周期函数”，若，且存在，使得，求的值；
(3)已知是以为一个“正弦周期”的“正弦周期函数”，且存在和，使得对任意，都有，证明：是周期函数.

6 . 三角函数的定义是：在单位圆C：中，作一过圆心的射线与单位圆交于点P，自x轴正半轴开始逆时针旋转到达该射线时转过的角大小为θ，则P点坐标为，转动中扫过的圆心角为θ的扇形，由圆弧面积公式和弧度角的定义，可知面积．类似地对于双曲三角函数有这样的定义：在单位双曲线E：中，过原点作一射线交右支于点P，该射线和x轴及双曲线围成的曲边三角形面积是，双曲角，则P的坐标是．其中，称为双曲余弦函数，称为双曲正弦函数同样，有类似定义双曲正切函数双曲余切函数且有如下关系式：，

   

（1）阅读上述文字并求出,的初等函数表达式．
（Ⅰ）双曲三角函数有如下和差公式，请任选其一进行证明：
①；
②；
（Ⅱ）①求函数在R上的值域；
②若对，关于x的方程有解，求实数a的取值范围．
类似三角函数的反函数，试研究双曲三角函数的反函数artanhx，arcothx．
（2）①证明：
②已知的级数展开式为，写出的级数展开式．

7 . 欧拉函数在密码学中有重要的应用．设n为正整数，集合，欧拉函数的值等于集合中与n互质的正整数的个数；记表示x除以y的余数（x和y均为正整数），
(1)求和；
(2)现有三个素数p，q，，，存在正整数d满足；已知对素数a和，均有，证明：若，则；
(3)设n为两个未知素数的乘积，，为另两个更大的已知素数，且；又，，，试用，和n求出x的值．

8 . 已知定义在上的函数，若存在实数，，使得对任意的实数恒成立，则称函数为“函数”；
(1)已知，判断它是否为“函数”；
(2)若函数是“函数”，当，，求在上的解.
(3)证明函数为“函数”并求所有符合条件的、、.