1 . 阅读材料:我们研究了函数的单调性、奇偶性和周期性,但是这些还不能够准确地描述出函数的图象,例如函数和,虽然它们都是增函数,图象在上都是上升的,但是却有着显著的不同.如图1所示,函数的图象是向下凸的,在上任意取两个点,函数的图象总是在线段的下方,此时函数称为下凸函数;函数的图象是向上凸的,在上任意取两个点,函数的图象总是在线段的上方,则函数称为上凸函数.具有这样特征的函数通常称做凸函数.
定义1:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸(下凸)函数与函数的定义域密切相关的.例如,函数在为上凸函数,在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复,属于整体性质;而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向,属于局部性质.关于函数性质的探索,对我们的启示是:在认识事物和研究问题时,只有从多角度、全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题:
(1)请尝试列举一个下凸函数:___________;
(2)求证:二次函数是上凸函数;
(3)已知函数,若对任意,恒有,尝试数形结合探究实数a的取值范围.
定义1:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的下凸函数.如图2.下凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的下方.定义2:设函数是定义在区间I上的连续函数,若,都有,则称为区间I上的上凸函数.如图3.上凸函数的形状特征:曲线上任意两点之间的部分位于线段的上方.上凸(下凸)函数与函数的定义域密切相关的.例如,函数在为上凸函数,在上为下凸函数.函数的奇偶性和周期性分别反映的是函数图象的对称性和循环往复,属于整体性质;而函数的单调性和凸性分别刻画的是函数图象的升降和弯曲方向,属于局部性质.关于函数性质的探索,对我们的启示是:在认识事物和研究问题时,只有从多角度、全方位加以考查,才能使认识和研究更加准确.结合阅读材料回答下面的问题:
(1)请尝试列举一个下凸函数:___________;
(2)求证:二次函数是上凸函数;
(3)已知函数,若对任意,恒有,尝试数形结合探究实数a的取值范围.
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2022-03-01更新
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1171次组卷
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4卷引用:贵州省贵阳市普通中学2021-2022学年高一上学期期末监测考试数学试题
贵州省贵阳市普通中学2021-2022学年高一上学期期末监测考试数学试题聚焦核心素养-一元二次函数、方程和不等式第三章 函数的概念与性质(A卷·基础提升练)-【单元测试】2022-2023学年高一数学分层训练AB卷(人教A版2019必修第一册)(已下线)第一章 导数与函数的图像 专题二 函数的凹凸性与渐近线 微点2 函数的凹凸性与渐近线综合训练
名校
2 . 已知函数,下列说法正确的是( )
A.函数的单调递增区间是 |
B.若函数恰有三个零点,则实数的取值范围是 |
C.若函数有四个零点,,则 |
D.若函数有四个不同的零点,则实数的取值范围是 |
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2022-12-20更新
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804次组卷
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5卷引用:重庆市育才中学校2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题
解题方法
3 . 已知定义在上的函数满足,且当时,图像与x轴的交点从左至右为O,,,,…,,…;图像与直线的交点从左至右为,,,…,,….若,,,…,为线段上的10个不同的点,则______ .
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解题方法
4 . 在同一坐标系中,对于函数与的图象,下列说法正确的是( )
A.与有两个交点 |
B.,当时,恒在的上方 |
C.与有三个交点 |
D.,当时,恒在的上方 |
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22-23高一上·全国·课后作业
5 . 在一条笔直的公路上有A、B、C三地,C地位于A、B两地之间,甲车从A地沿这条公路匀速驶向C地,乙车从B地沿这条公路匀速驶向A地.在甲车出发至甲车到达C地的过程中,甲、乙两车各自与C地的距离y(km)与甲车行驶时间t(h)之间的函数关系如图所示.下列结论正确的是( )
A.甲车出发2h时,两车相遇 |
B.乙车出发1.5h时,两车相距170km |
C.乙车出发2h时,两车相遇 |
D.甲车到达C地时,两车相距40km |
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名校
解题方法
6 . 已知“不小于的最小的整数”所确定的函数通常记为,例如:,则方程的正实数根的个数是( )
A.1个 | B.2个 | C.3个 | D.无数个 |
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2022-10-30更新
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414次组卷
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3卷引用:吉林省长春市长春吉大附中实验学校2022-2023学年高一上学期期中数学试题
7 . 一次越野跑中,前a秒钟小明跑了1600m,小刚跑了1450m.小明、小刚此后所跑的总路程y(单位:m)与时间t(单位:s)之间的函数关系如图所示,则图中b的值是( )
A.3050 | B.2250 | C.2050 | D.2890 |
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8 . 已知函数,则( )
A.有两个零点 |
B.直线与的图象有两个交点 |
C.直线与的图象有四个交点 |
D.存在点,同时在的图象上 |
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9 . 若连续函数在其定义区间上的任意个点,恒有,则称在上满足性质.设函数在区间上满足性质,且过点,的图象与线段围成封闭图形的面积记为,则( )
A. | B.可以为 |
C. | D. |
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2021-07-26更新
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454次组卷
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4卷引用:考点08 函数图象-备战2022年高考数学典型试题解读与变式
(已下线)考点08 函数图象-备战2022年高考数学典型试题解读与变式(已下线)考点05 函数的基本性质-备战2022年高考数学典型试题解读与变式福建省莆田市2021届高三高中毕业班3月第二次教学质量检测数学试题江西省吉安市永丰县永丰中学2022-2023学年高一上学期期末考试数学试题(A)
10 . 如图,函数与的部分图象分别为,则正确的是( )
A. | B. |
C. | D. |
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2022-11-17更新
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229次组卷
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2卷引用:四川省绵阳市2022-2023学年高一上学期期中数学试题