1 . 已知幂的基本不等式：当，时，．请利用此基本不等式解决下列相关问题：
(1)当，时，求的取值范围；
(2)当，时，求证：；
(3)利用（2）证明对数函数的单调性：当时，对数函数在上是严格增函数．

2 . 已知函数的定义域为，为大于的常数，对任意，都满足，则称函数在上具有“性质”．
(1)试判断函数和函数是否具有“性质”（无需证明）；
(2)若函数具有“性质”，且，求证：对任意，都有；
(3)若函数的定义域为，且具有“性质”，试判断下列命题的真假，并说明理由，
①若在区间上是严格增函数，则此函数在上也是严格增函数；
②若在区间上是严格减函数，则此函数在上也是严格减函数．

3 . 悬索桥（如图）的外观大漂亮，悬索的形状是平面几何中的悬链线.年莱布尼兹和伯努利推导出某链线的方程为，其中为参数.当时，该方程就是双曲余弦函数，类似的我们有双曲正弦函数.

(1)从下列三个结论中选择一个进行证明，并求函数的最小值；
①；
②；
③.
(2)求证：，.

4 . 已知函数，．
(1)证明：；
(2)求时，函数的最小值．

5 . 通货膨胀率被定义为物价总水平的增长率，已知某件商品2015年10月的定价为21.5，而该商品2023年10月的定价为22.8.该商品的增长率恰与某地区的物价总水平的增长率一致.
(1)求该地区2015年至2023年的年平均通货膨胀率；
(2)资金的增长率被称为名义利率，以欧文·费雪（Irving Fisher）（20世纪一位伟大的货币经济学家）命名的费雪方程式给出了关于实际利率的定义，费雪方程式表明名义利率等于实际利率加上通货膨胀率.已知某银行三年期定期存款的利率如下图所示（银行定期年利率为单利，三年存款的利息=本金*年利率*3）.

图中数据见下表：

存入日	存期	到期日	起息日	年利就	操作员	流水号
20201021	36月	20231021	20201021	3.8500%	22628	583081

（i）求该存款2020年至2023年的实际年平均利率（精确到）；
（ii）若在2015年至2023年间该存款以同样的年利率（3.8500%，单利）存五年定期，则其实际年平均利率与三年定期相比是大还是小?（只写出结论，不要求证明）
参考数据：，，，，，，，

6 . 已知函数为偶函数，函数为奇函数，对任意实数恒成立.
(1)计算、的值；
(2)试探究与的关系，并证明你的结论.

7 . 已知函数.
(1)若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减；
(2)由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是.
据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称.

8 . 求证：．

9 . 已知且，，求证：．

10 . 已知数列的首项．
(1)若是公差的等差数列，正整数k，，证明：．
(2)若是公差的等差数列，正整数k，，证明：．
(3)若数列满足为一个自然数集上的正值函数，证明：．