2023高三·全国·专题练习
解题方法
1 . 自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考查其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响． 用
表示某鱼群在第n年年初的总量，
，且
．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与
成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．
(1)求
与的关系式；
(2)猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）；
(3)设
，为保证对任意
，都有
，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．
表示某鱼群在第n年年初的总量，，且．不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与成正比，死亡量与成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c．(1)求
与的关系式；(2)猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）；
(3)设
，为保证对任意，都有，则捕捞强度b的最大允许值是多少？证明你的结论．
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2 . 某企业为了调动员工工作的积极性，提高生产效率，根据员工每小时的生产速度发放奖金，经研究，该企业的奖金发放方案为：当员工生产速度为
千克/小时（生产条件要求
且匀速生产），其每小时可获得的奖金为
元．
(1)判断此奖金发放方案能否使员工每小时获得的奖金
随生产速度（）的增加而增加？并证明你的结论；
(2)某天，该企业安排员工甲生产72千克该产品，为获得更多的总奖金，该员工应该选取何种生产速度？并求此时获得的总奖金．
千克/小时（生产条件要求且匀速生产），其每小时可获得的奖金为元．(1)判断此奖金发放方案能否使员工每小时获得的奖金
随生产速度（）的增加而增加？并证明你的结论；(2)某天，该企业安排员工甲生产72千克该产品，为获得更多的总奖金，该员工应该选取何种生产速度？并求此时获得的总奖金．
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解题方法
3 . 某乡镇为全面实施乡村振兴战略，大力发展特色农产业，提升特色农产品的知名度，邀请了一家广告牌制作公司设计一个宽为x米、长为y米的长方形展牌，其中
，并要求其面积为
平方米．
(1)求y关于x的函数；
(2)判断在其定义域内的单调性，并用定义证明；
(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？
，并要求其面积为平方米．(1)求y关于x的函数
；(2)判断
在其定义域内的单调性，并用定义证明；(3)如何设计展牌的长和宽，才能使展牌的周长最小？
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2023-12-15更新
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293次组卷
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3卷引用：河南省八地市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题
河南省八地市2023-2024学年高一上学期期中联考数学试题河南省2023-2024学年高一上学期学业质量监测考试数学试题（濮阳、周口版）（已下线）3.4函数的应用（一）【第二练】“上好三节课，做好三套题“高中数学素养晋级之路
4 . 已知大气压强
（帕）随高度
（米）的变化满足关系式
是海平面大气压强．
(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为
，求在海拔8000米处的大气压强（结果用
和表示）．
(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
若用平均海拔的范围直接代表海拔的范围，设在第二级阶梯某处的压强为
，在第三级阶梯某处的压强为
，证明：
．
（帕）随高度（米）的变化满足关系式是海平面大气压强．(1)世界上有14座海拔8000米以上的高峰，喜马拉雅承包了10座，设在海拔4000米处的大气压强为
，求在海拔8000米处的大气压强（结果用和表示）．(2)我国陆地地势可划分为三级阶梯，其平均海拔如下表：
| 平均海拔（单位：米） | |
| 第一级阶梯 |  |
| 第二级阶梯 |  |
| 第三级阶梯 |  |
，在第三级阶梯某处的压强为，证明：．
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2023-07-29更新
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115次组卷
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2卷引用：辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题
名校
解题方法
5 . 老李是当地有名的养鱼技术能手，准备承包一个渔场，并签订合同，经过测算研究，预测第一年鱼重量增长率
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为
个单位，含氧量y与年份x的函数模型为
，当含氧量少于
个单位，鱼虽然依然生长，但会损失
的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.
(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量
与第n年鱼的总重量
的关系式
不用证明关系式，n为整数
，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
，以后每年的重量增长率是前一年重量增长率的一半，但同时因鱼的生长，会导致水中的含氧量减少，鱼生长缓慢，为确保鱼的正常生长，只要水中的含氧量保持在某水平线以上。现知道水中含氧量第一年为8个单位，经科技人员处了解到鱼正常生长，到第三年水中含氧量为个单位，含氧量y与年份x的函数模型为，当含氧量少于个单位，鱼虽然依然生长，但会损失的总重量，当某一年的总重量比上一年总重量开始减少时就应该适时捕捞，此时也是签合同适宜的最短时间.(1)试求出含氧量模型函数关系式；
(2)试求出第几年开始鱼生长因含氧量关系导致会缓慢并出现损失；
(3)求出第
年鱼的总重量与第n年鱼的总重量的关系式不用证明关系式，n为整数，并求出签合同适宜的最短时间是多少年?
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名校
6 . 国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值(美元)与其重量(克拉)的平方成正比，且一颗重为3克拉的该钻石的价值为54000美元．
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当
时，价值损失的百分率最大．
（注：价值损失的百分率
100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
(1)写出钻石的价值y关于钻石重量x的关系式；
(2)把一颗钻石切割成两颗钻石，若两颗钻石的重量分别为m克拉和n克拉，试证明：当
时，价值损失的百分率最大．（注：价值损失的百分率
100%；在切割过程中的重量损耗忽略不计）
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2023-08-03更新
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74次组卷
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2卷引用：四川省绵阳市绵阳中学2022-2023学年高一上学期12月月考数学试题
解题方法
7 . 2月26日，江苏银行宣布成为百度“文心一言”首批生态合作伙伴．“文心一言”与国外的ChatGPT类似，是一种智能化的对话机器人，可以进行智能对话､回复问题､生成创作内容，还可以在对话过程中不断学习和优化．相比此前的技术，在智能化上实现了一定的突破，其内容回复详细､清唽，且由于其具有很好的互动性，在商业应用上带来了充分的想象空间．某研究人工智能的新兴科技公司第一年年初有资金5000万元，并将其全部投入生产，到当年年底资金增长了
，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第
年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为
万元．
(1)求证：
；
(2)要使第
年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数
的最小值．（
；
）
，预计以后每年资金年增长率与第一年相同．公司要求企业从第一年开始，每年年底各项人员工资､税务等支出合计1500万元，并将剩余资金全部投入下一年生产．设第年年底企业除去各项支出资金后的剩余资金为万元．(1)求证：
；(2)要使第
年年底企业的剩余资金超过21000万元，求整数的最小值．（；）
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名校
8 . 诺贝尔奖发放方式为：每年一发，把奖金总额平均分成
份，奖励给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为
．资料显示：
年诺贝尔奖发放后基金总额约为
万美元．设表示第
年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为
，
年记为
，
，依次类推）．（参考数据：
，
，
）
(1)分别求出
、
与的关系式；
(2)根据（1）所求的结果归纳出函数的解析式（无需证明）．
(3)若
，试求出
年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．
份，奖励给分别在项（物理、化学、文学、经济学、生理学和医学、和平）为人类作出最有益贡献的人，每年发放奖金的总金额是基金在该年度所获利息的一半，另一半利息作基金总额，以便保证奖金数逐年增加．假设基金平均年利率为．资料显示：年诺贝尔奖发放后基金总额约为万美元．设表示第年诺贝尔奖发放后的基金总额（年记为，年记为，，依次类推）．（参考数据：，，）(1)分别求出
、与的关系式；(2)根据（1）所求的结果归纳出函数
的解析式（无需证明）．(3)若
，试求出年诺贝尔奖每位获奖者的奖金额是多少．
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名校
9 . 
技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：
，其中：
（单位：
）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，
单位；
）是信道的带宽，
单位：
）是平均信号功率，
（单位：）是平均噪声功率，
叫做信噪比.
(1)根据香农公式，如果不改变带宽
，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升
(2)已知信号功率
，证明：
；
(3)现有3个并行的信道
，它们的信号功率分别为
，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
技术的价值和意义在自动驾驶､物联网等领域得到极大的体现.其数学原理之一是香农公式：，其中：（单位：）是信道容量或者叫信道支持的最大速度，单位；）是信道的带宽，单位：）是平均信号功率，（单位：）是平均噪声功率，叫做信噪比.(1)根据香农公式，如果不改变带宽
，那么将信噪比从1023提升到多少时，信道容量能提升(2)已知信号功率
，证明：；(3)现有3个并行的信道
，它们的信号功率分别为，这3个信道上已经有一些相同的噪声或者信号功率.根据（2）中结论，如果再有一小份信号功率，把它分配到哪个信道上能获得最大的信道容量？（只需写出结论）
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2023-03-16更新
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263次组卷
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6卷引用：北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷
北京市丰台区普通高中2020-2021学年数学合格性调研试卷（已下线）第12课时 课后 函数的应用（已下线）专题9.2 期中押题检测卷（考试范围：第1-4章）2（中）-【满分计划】2021-2022学年高一数学阶段性复习测试卷（苏教版2019必修第一册）福建省福鼎市第六中学2022-2023学年高三上学期12月月考试数学试题湖南省名校联合体2022-2023学年高一下学期第一次联考数学试题福建省厦门市第一中学2023-2024学年高一上学期期末模拟数学试题
解题方法
10 . 为了激励销售人员的积极性，某企业根据业务员的销售额发放奖金（单位：十万元），奖金发放方案具备下列两个条件：①奖金随销售额
的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5％．经研究，该企业拟采用函数模型
作为奖金发放方案．
(1)判断此奖金发放方案是否满足条件①？并证明你的结论；
(2)若
，该奖金发放方案满足上述条件，求实数m的取值范围．
随销售额的增加而增加；②奖金金额不低于销售额的5％．经研究，该企业拟采用函数模型作为奖金发放方案．(1)判断此奖金发放方案是否满足条件①？并证明你的结论；
(2)若
，该奖金发放方案满足上述条件，求实数m的取值范围．
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