1 . 如图，若内一点P满足，则称P为的布罗卡尔点．若设，则称为布罗卡尔角．

(1)若是边长为2的等边三角形，其布罗卡尔点是的内心（内心是三角形三个内角角平分线的交点），求的外接圆的半径；
(2)在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，记的面积为S，的布罗卡尔角为，且．证明：；
(3)在中，记的布罗卡尔角为，若，求证：．

3 . （1）已知均为正数，且，求证：；
（2）根据生活常识“淡糖水再加糖会更甜”，请给出类似第（1）小题的命题，并予以证明；
（3）证明：中，.(可直接应用第（1）；（2）小题的结论)

5 . 在中，内角A，B，C的对边分别为，，，且.
(1)求；
(2)设外接圆的半径为1，圆心为，为圆上异于点的一个动点.
（i）若，求证：四边形为等腰梯形；
（ii）若，求的取值范围.

6 . 在中，角A，B，C所对的边分别为的平分线BD交AC于点．
(1)求证：；
(2)若．
（ⅰ）求；
（ⅱ）若，求的面积．

7 . 中，内角、、的对边分别为、、.
(1)若，，求的值；
(2)求证：.

8 . 在中，内角，，所对的边分别为，，，
(1)已知，
（i）求；
（ii）若，为边上的中点，求的长.
(2)若为锐角三角形，求证：

9 . 三角形的布洛卡点是法国数学家克洛尔于1816年首次发现．当内一点满足条件时，则称点为的布洛卡点，角为布洛卡角．如图，在中，角，，所对边长分别为，，，记的面积为，点为的布洛卡点，其布洛卡角为

(1)若．求证：
①；
②为等边三角形．
(2)若，求证：．

10 . 在非直角三角形 中，角 的对边分别为 ，且满足 .
(1)求证: ;
(2)若 ，求 的面积.