1 . 某同学在查阅资料时，发现一个结论：已知O是内的一点，且存在，使得，则．请以此结论回答：已知在中，，，O是的外心，且，则________．

2 . 大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为正三角形，，，围成的也为正三角形．若为的中点，①与的面积比为___________；②设，则___________．

3 . 在中，点O满足，且AO所在直线交边BC于点D，有，，，则的值为___________.

4 . 在平面上，已知为两个不平行的单位向量，O为定点，集合，若中所有的点构成图形的面积为1，则与夹角的大小为______.

5 . 已知，，点D满足，设，若恒成立，则的最大值为______________．

6 . 已知是单位向量，向量满足，且，其中，且．则下列结论中，正确结论的序号是___________．
①；
②；
③存在x，y，使得；
④当取最小值时，．

7 . 我校高一同学发现：若是内的一点，、、的面积分别为、、，则存在结论，这位同学利用这个结论开始研究：若为内的一点且为内心，的内角、、的对边分别为、、，且，若，则的最大值为___________.

8 . 点在椭圆上，不在坐标轴上，，，，，直线与交于点，直线与轴交于点，设，，则的值为______．

9 . 正五角星是一个与黄金分割有着密切联系的优美集合图形，在如图所示的正五角星中，A、B、C、D、E是正五边形的五个顶点，且，若，则______．

10 . （1）已知△ABC的外心为O，且AB=5，，则______．
（2）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，则______．
（3）已知△ABC的重心为O，且AB=5，，，D为BC中点，则____．