解题方法
1 . “费马点”是由十七世纪法国数学家费马提出并征解的一个问题,该问题是:“在一个三角形内求作一点,使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小”.如图1,三个内角都小于的内部有一点,连接,求的最小值.我们称三角形内到三角形三个顶点距离之和最小的点为费马点.要解决这个问题,首先应想办法将这三条端点重合于一点的线段分离,然后再将它们连接成一条折线,并让折线的两个端点为定点,这样依据“两点之间,线段最短”,就可求出这三条线段和的最小值.某数学研究小组先后尝试了翻折、旋转、平移的方法,发现通过旋转可以解决这个问题,具体的做法如图2,将绕点顺时针旋转,得到,连接,则的长即为所求,此时与三个顶点连线恰好三等分费马点的周角.同时小组成员研究教材发现:已知对任意平面向量,把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量.(1)已知平面内点,把点绕点沿顺时针方向旋转后得到点,求点的坐标;
(2)在中,,借助研究成果,直接写出的最小值;
(3)已知点,求的费马点的坐标.
(2)在中,,借助研究成果,直接写出的最小值;
(3)已知点,求的费马点的坐标.
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解题方法
2 . 如图,为坐标原点,为抛物线的焦点,过的直线交抛物线于两点,直线交抛物线的准线于点,设抛物线在点处的切线为.
(2)过点作的垂线与直线交于点,求证:.
(1)若直线与轴的交点为,求证:;
(2)过点作的垂线与直线交于点,求证:.
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2024-03-13更新
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1623次组卷
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5卷引用:湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题
湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题山东省潍坊市昌乐北大公学学校2024届高三下学期3月监测数学试题四川省成都市教育科学研究院附属中学2023-2024学年高三下学期4月综合测试数学(理科)试题(已下线)湖北省七市州2024届高三下学期3月联合统一调研测试数学试题变式题16-19甘肃省兰州市2024届高三下学期三模数学试题
名校
解题方法
3 . 已知为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量,同时称函数为向量的伴随函数.
(1)设函数,试求的伴随向量;
(2)记向量的伴随函数为,求当且时,的值;
(3)当向量时,伴随函数为,函数,求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
(1)设函数,试求的伴随向量;
(2)记向量的伴随函数为,求当且时,的值;
(3)当向量时,伴随函数为,函数,求在区间上最大值与最小值之差的取值范围.
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2023-04-14更新
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1081次组卷
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10卷引用:湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题
湖北省孝感市2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题福建省泉州市培元中学2022-2023学年高一下学期5月月考数学试题江苏省南通市2022-2023学年高二下学期期末模拟数学试题(已下线)模块二 专题2 三角函数恒等变换 单元检测篇 A基础卷 (苏教版)四川省眉山市青神县青神中学校2022-2023学年高一下学期期中数学试题江西省抚州市东乡区实验中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题江苏省连云港高级中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题广东省广州市第六中学2023-2024学年高二上学期期中数学试题江苏省苏州昆山柏庐高级中学2023-2024学年高一下学期3月月考数学试题广东省佛山市南海区罗村高级中学2023-2024学年高一下学期阶段测试(一)数学试题
解题方法
4 . 借助复数、三角及向量的知识,可以研究平面上点及图像的旋转问题.请尝试解答下列问题:
(1)在直角坐标系中,已知点的坐标为,将绕坐标原点O逆时针方向旋转至.求点的坐标;
(2)设向量,把向量按顺时针方向旋转角得到向量,求向量对应的复数;
(3)设为不重合的两个定点,将点绕点按逆时针旋转角得到点,判断点是否能够落在直线上,若能,试用表示相应的值,若不能,说明理由.
(1)在直角坐标系中,已知点的坐标为,将绕坐标原点O逆时针方向旋转至.求点的坐标;
(2)设向量,把向量按顺时针方向旋转角得到向量,求向量对应的复数;
(3)设为不重合的两个定点,将点绕点按逆时针旋转角得到点,判断点是否能够落在直线上,若能,试用表示相应的值,若不能,说明理由.
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5 . 已知抛物线:的焦点为,是抛物线上一点,且满足.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知直线与抛物线交于,两点,且,线段的中点在直线上.
(i)求直线的方程;
(ii)证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.
(1)求抛物线的方程;
(2)已知直线与抛物线交于,两点,且,线段的中点在直线上.
(i)求直线的方程;
(ii)证明:,,成等差数列,并求该数列的公差.
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名校
6 . 已知O为坐标原点,对于函数,称向量为函数的伴随向量.
(1)设函数,试求的伴随向量;
(2)由(1)中函数的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍,再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象,已知,,问在的图象上是否存在一点,使得.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
(1)设函数,试求的伴随向量;
(2)由(1)中函数的图象(纵坐标不变)横坐标伸长为原来的2倍,再把整个图象向右平移个单位长度得到的图象,已知,,问在的图象上是否存在一点,使得.若存在,求出点坐标;若不存在,说明理由.
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2021-03-31更新
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298次组卷
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3卷引用:江苏省常州市“教学研究合作联盟”2020-2021学年高一下学期3月阶段调研数学试题
名校
7 . 已知,、、在同一个平面直角坐标系中的坐标分别为、、.
(1)若,求角的值;
(2)当时,求的值.
(1)若,求角的值;
(2)当时,求的值.
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名校
解题方法
8 . 已知动点满足,点的轨迹为曲线.
(1)求的标准方程;
(2)过点作直线交曲线于两点,交轴于点,若,证明:为定值.
(1)求的标准方程;
(2)过点作直线交曲线于两点,交轴于点,若,证明:为定值.
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