1 . 如图，在正中，D，E分别是AB，BC上的一个三等分点，分别靠近点A，点B，且AE，CD交于点P.求证：BP⊥DC.

2 . 如图在矩形中，，，N是的中点，M是线段上的点，，．

（1）若M是的中点，求证：与共线；
（2）在线段上是否存在点M，使得与垂直？若不存在请说明理由，若存在请求出M点的位置；
（3）若动点P在矩形上运动，试求的最大值及取得最大值时P点的位置．

3 . 已知，，其中a、b、x、y∈R．求证：．

4 . 在中，角，，的对边分别为，，，已知.
（1）证明：；
（2）求的取值范围.

5 . ．已知中是直角，，点是的中点，为上一点．

（1）设，，当，请用来表示，.
（2）当时，判断是否垂直.若成立，给出证明，若不成立，说明理由.

6 . 在平面上，给定非零向量，对任意向量，定义.
（1）若=(-1，3)，=(2，3)，求；
（2）若=(2，1)，位置向量的终点在直线x+y+1=0上，求位置向量终点轨迹方程；
（3）对任意两个向量，求证∶.

7 . 在中，，记，且为正实数），
（1）求证：；
（2）将与的数量积表示为关于的函数；
（3）求函数的最小值及此时角的大小．

8 . 在锐角中，角，，的对边分别为，，，用向量方法证明：.

9 . （1）请你利用数量积的定义（非坐标运算公式）证明：；
（2）已知向量与的夹角为，，，记，，若，求实数k的值.

10 . 在中，D是AB的中点.

（1）求证：；
（2）若是等边三角形，且外接圆半径为2，圆心为O（如图），P为⊙O上的一动点，试求的取值范围.