1 . 已知正数，，成等差数列，且公差，求证：，，不可能是等差数列．
设实数，整数，．证明：当且时，．

2 . 已知数列的前项和（为正整数）.
（1）令，求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）令，试比较与3的大小，并予以证明.

3 . 已知数列的前n项和为，
(1)证明：数列是等差数列，并求；
（2）设，求证：

4 . （文）已知等差数列的公差是，是该数列的前项和.
（1）求证：；
（2）利用（1）的结论求解：“已知、，求”；
（3）若各项均为正数的等比数列的公比为，前项和为.试类比问题（1）的结论，给出一个相应的结论并给出证明.并利用此结论求解问题：“已知各项均为正数的等比数列，其中，，求数列的前项和.”

5 . 已知数列满足.
(1)证明：数列为等差数列，并求；
(2)令，求数列的前项和.

6 . 已知数列满足.
(1)求证：是等差数列.
(2)求数列的通项公式.

7 . 已知等差数列的公差为d，求证：对于任意的正整数m，n，有．

8 . 设，，，是等差数列的项，且．求证：．

9 . 已知数列是等比数列，其前项和为，数列是等差数列，满足，，
(1)求数列和的通项公式；
(2)记，求；
(3)证明：．

10 . 记为数列的前n项和，已知是公差为的等差数列．
(1)求的通项公式；
(2)证明：．