1 . 已知数列和满足：，其中为实数，为正整数.
（1）对任意实数，求证：不成等比数列；
（2）试判断数列是否为等比数列，并证明你的结论.

2 . 已知数列中，，对任意的，、、成等比数列，公比为；、、成等差数列，公差为，且．
（1）写出数列的前四项；
（2）设，求数列的通项公式；
（3）求数列的前项和．

3 . 在数列中，，且对任意的,成等比数列，其公比为．
（1）若=2()，求；
（2）若对任意的，，，成等差数列，其公差为，设．
①求证：成等差数列，并指出其公差；
②若=2,试求数列的前项的和．

4 . 等差数列和等比数列中， ，，是前项和.
(1)若 ，求实数的值；
(2)是否存在正整数，使得数列的所有项都在数列中？若存在，求出所有的，若不存在，说明理由；
(3)是否存在正实数，使得数列中至少有三项在数列中，但中的项不都在数列中？若存在，求出一个可能的的值，若不存在，请说明理由.

5 . 已知数列满足（）．
（1）若数列是等差数列，求它的首项和公差；
（2）证明：数列不可能是等比数列；
（3）若，（），试求实数和的值，使得数列为等比数列；并求此时数列的通项公式．

6 . 设S_n表示数列的前n项和.
（1）若为等差数列, 推导S_n的计算公式;
（2）若, 且对所有正整数n, 有. 判断是否为等比数列.

7 . 在等差数列{a_n}中，a₁+a₃=8，且a₄为a₂和a₉的等比中项，求数列{a_n}的首项，公差及前n项和．

8 . 已知数列具有性质：①为整数；②对于任意的正整数，当为偶数时，；当为奇数时，.
（1）若为偶数，且成等差数列，求的值；
（2）设(且N)，数列的前项和为，求证：；
（3）若为正整数，求证：当(N)时，都有.

9 . 已知{a_n}是公差不为零的等差数列，a₁＝1，且a₁，a₃，a₉成等比数列.
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项; （Ⅱ）求数列的前n项和S_n.

10 . 在数列中，，，且；
（1）设，证明是等比数列；（2）求数列的通项公式；（3）若是与的等差中项，求的值，并证明：对任意的，是与的等差中项；