1 . 已知各项均不为0的数列
满足
（
是正整数），
，定义函数
，
是自然对数的底数.
(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)记函数
，其中
.
（i）证明：对任意
，
；
（ii）数列
满足
，设
为数列的前项和.数列
的极限的严格定义为：若存在一个常数
，使得对任意给定的正实数
（不论它多么小），总存在正整数m满足：当
时，恒有
成立，则称为数列
的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
满足（是正整数），，定义函数，是自然对数的底数.(1)求证：数列
是等差数列，并求数列的通项公式；(2)记函数
，其中.（i）证明：对任意
，；（ii）数列
满足，设为数列的前项和.数列的极限的严格定义为：若存在一个常数，使得对任意给定的正实数（不论它多么小），总存在正整数m满足：当时，恒有成立，则称为数列的极限.试根据以上定义求出数列的极限.
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2 . 定义：若数列
满足，存在实数
，对任意
，都有
，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列
是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足
，
（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在
，当
时，恒有
.
满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.（1）数列
是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；（2）若非负数列
满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；（3）若正项递增数列
无上界，证明：存在，当时，恒有.
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2019-08-16更新
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882次组卷
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6卷引用：4.4数学归纳法的应用（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）
（已下线）4.4数学归纳法的应用（第2课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）（已下线）第4章 数列（基础、典型、易错、压轴）-【满分全攻略】2022-2023学年高二数学下学期核心考点+重难点讲练与测试（沪教版2020选修一+选修二）上海市复旦大学附属中学2018-2019学年高三下学期期末考试数学试题上海市复旦大学附中2018-2019学年高三下学期5月月考数学试题2019年上海市复旦附中高三5月模拟数学试题（已下线）第10讲 数学归纳法与数列综合应用-2
解题方法
3 . 已知数列的前项和为
，
，
.
(1)计算：
，
，
，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法来证明（1）中猜想；
(3)记
，求
.
的前项和为，，.(1)计算：
，，，并猜想数列的通项公式；(2)用数学归纳法来证明（1）中猜想；
(3)记
，求.
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22-23高二上·上海·期中
解题方法
4 . 已知点
在直线
上，
为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（
）．
(1)求数列，的通项公式；
(2)设
，求
的值；
(3)若
，且
，求证：数列
为等比数列，并求
的通项公式．
在直线上，为直线l与y轴的交点，等差数列的公差为1（）．(1)求数列
，的通项公式；(2)设
，求的值；(3)若
，且，求证：数列为等比数列，并求的通项公式．
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2022高二·上海·专题练习
解题方法
5 . 设数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若{an}是等比数列，a2＝
，S2＝
，求
；
(2)若{an}是等差数列，a1＝1，d＝4，若Sk是数列{an}中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；
(3)若数列{an}满足a1＝1且
，是否存在无穷数列{an}，使得a2022＝﹣2021？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．
(1)若{an}是等比数列，a2＝
，S2＝，求；(2)若{an}是等差数列，a1＝1，d＝4，若Sk是数列{an}中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；
(3)若数列{an}满足a1＝1且
，是否存在无穷数列{an}，使得a2022＝﹣2021？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．
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6 . 函数
满足
，当
时，
恒成立，又
满足：
,
，设
.
（1）在
内求实数
，使得
；
（2）证明：数列
是等比数列，并求
的表达式以及
的值；
（3）是否存在正整数
，使得对任意
，都有
成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
满足，当时，恒成立，又满足：,，设.（1）在
内求实数，使得；（2）证明：数列
是等比数列，并求的表达式以及的值；（3）是否存在正整数
，使得对任意，都有成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.
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7 . 在数列中，，且对任意的
，
、
、
构成
为公差的等差数列.
（1）求证：、
、
成等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设
，试问当
时，数列
是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.
中，，且对任意的，、、构成为公差的等差数列.（1）求证：
、、成等比数列；（2）求数列
的通项公式；（3）设
，试问当时，数列是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.
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8 . 设数列的首项
，且
，记
，
．
（1）求
；
（2）判断
是否为等比数列，并证明你的结论；
（3）求
．
的首项，且，记，．（1）求
；（2）判断
是否为等比数列，并证明你的结论；（3）求
．
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2020-06-27更新
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290次组卷
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5卷引用：上海嘉定区安亭高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题
上海嘉定区安亭高级中学2019-2020学年高二上学期第一次月考数学试题沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第7章 数列与数学归纳法 本章复习题沪教版(上海) 高三年级 新高考辅导与训练 第四章 数列与数学归纳法 四、数列的极限（已下线）考向15 等比数列-备战2022年高考数学一轮复习考点微专题（上海专用）2005年普通高等学校招生考试数学（理）试题（北京卷）
9 . 如图，在边长为l的等边三角形
中，
为
的内切圆，
与外切，且与
相切，……，
与
，外切，且与相切，如此无限下去，记的面积为
.
（1）证明是等比数列；
（2）求
的值.
中，为的内切圆，与外切，且与相切，……，与，外切，且与相切，如此无限下去，记的面积为.（1）证明
是等比数列；（2）求
的值.
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2020-06-26更新
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332次组卷
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6卷引用：沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第7章 数列与数学归纳法 7.8（2）无穷等比数列各项的和的应用
10 . 已知数列的前n项之和满足
.
（1）求证：
是公比为
的等比数列；
（2）求适合
的r的取值范围.
的前n项之和满足.（1）求证：
是公比为的等比数列；（2）求适合
的r的取值范围.
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2020-06-26更新
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189次组卷
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3卷引用：沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第7章 数列与数学归纳法 7.8（2）无穷等比数列各项的和的应用
沪教版(上海) 高二第一学期 新高考辅导与训练 第7章 数列与数学归纳法 7.8（2）无穷等比数列各项的和的应用（已下线）4.2无穷等比数列各项和（第3课时）（作业）（夯实基础+能力提升）-【教材配套课件+作业】2022-2023学年高二数学精品教学课件（沪教版2020选择性必修第一册）沪教版(2020) 选修第一册 单元训练 第4章 等比数列（A卷）
