2023高三·全国·专题练习
1 . 设极限
，试证明：
存在时，
.
，试证明：存在时，.
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2 . 已知
，设
，证明：
．
，设，证明：．
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2023高三·全国·专题练习
3 . 著名的斐波那契数列满足
，
，证明
.
，，证明.
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4 . 设
，证明：
．
，证明：．
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2023高三·全国·专题练习
5 . 设数列
满足
，证明：对任意的初值
，
存在且等于1．
满足，证明：对任意的初值，存在且等于1．
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2023高三·全国·专题练习
解题方法
6 . 已知抛物线
与点
，过点
作切线
（
为切点），取点
满足
；过点作切线
（
为切点），取点
满足
；…依次得到点列
，
，…，
，数列为单调数列．
(1)求
，
．
(2)证明：
．
(3)证明：
．
与点，过点作切线（为切点），取点满足；过点作切线（为切点），取点满足；…依次得到点列，，…，，数列为单调数列．(1)求
，．(2)证明：
．(3)证明：
．
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2022高二·上海·专题练习
解题方法
7 . 设数列{an}的前n项和为Sn．
(1)若{an}是等比数列，a2＝
，S2＝
，求
；
(2)若{an}是等差数列，a1＝1，d＝4，若Sk是数列{an}中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；
(3)若数列{an}满足a1＝1且
，是否存在无穷数列{an}，使得a2022＝﹣2021？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．
(1)若{an}是等比数列，a2＝
，S2＝，求；(2)若{an}是等差数列，a1＝1，d＝4，若Sk是数列{an}中的项，求所有满足条件的正整数k组成的集合；
(3)若数列{an}满足a1＝1且
，是否存在无穷数列{an}，使得a2022＝﹣2021？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由．
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解题方法
8 . 现有甲、乙、丙三个人相互传接球，第一次从甲开始传球，甲随机地把球传给乙、丙中的一人，接球后视为完成第一次传接球；接球者进行第二次传球，随机地传给另外两人中的一人，接球后视为完成第二次传接球；依次类推，假设传接球无失误．
(1)设乙接到球的次数为
，通过三次传球，求的分布列与期望；
(2)设第
次传球后，甲接到球的概率为
，
（i）试证明数列
为等比数列；
（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
(1)设乙接到球的次数为
，通过三次传球，求的分布列与期望；(2)设第
次传球后，甲接到球的概率为，（i）试证明数列
为等比数列；（ii）解释随着传球次数的增多，甲接到球的概率趋近于一个常数．
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2022高三·上海·专题练习
9 . 已知无穷数列
的首项为
其前n项和为
且
（
），其中
为常数且
．
（1）设
，求数列
的通项公式，并求
的值；
（2）设
，
，是否存在正整数k使得数列
中的项
成立？若存在，求出满足条件k的所有值；若不存在，请说明理由．
（3）求证：数列中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且
，使得
．
的首项为其前n项和为且（），其中为常数且．（1）设
，求数列的通项公式，并求的值；（2）设
，，是否存在正整数k使得数列中的项成立？若存在，求出满足条件k的所有值；若不存在，请说明理由．（3）求证：数列
中不同的两项之和仍为此数列中的某一项的充要条件为存在整数m且，使得．
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10 . 图形的被覆盖率是指，图形被覆盖部分的面积与图形的原面积之比．通常用字母
表示．如图所示，边长为1的正三角形被
层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，
．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．
（Ⅰ）写出
，
的值，并求数列
的通项公式；
（Ⅱ）证明：对任意的层数，此正三角形的被覆盖率低于91%．
（参考数据：
，
）
表示．如图所示，边长为1的正三角形被层半径相等的圆覆盖，最下面一层与正三角形底边均相切，每一层相邻两圆外切，层与层相邻的圆相外切，且每一层两侧的圆与正三角形两边相切．记覆盖的等圆层数为时，等圆的半径为，．图中给出等于1，2，10时的覆盖情形．（Ⅰ）写出
，的值，并求数列的通项公式；（Ⅱ）证明：对任意的层数
，此正三角形的被覆盖率低于91%．（参考数据：
，）
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