1 . 定义：若数列满足，存在实数，对任意，都有，则称数列有上界，是数列的一个上界，已知定理：单调递增有上界的数列收敛（即极限存在）.
（1）数列是否存在上界？若存在，试求其所有上界中的最小值；若不存在，请说明理由；
（2）若非负数列满足，（），求证：1是非负数列的一个上界，且数列的极限存在，并求其极限；
（3）若正项递增数列无上界，证明：存在，当时，恒有.

2 . 在数列中，，且对任意的，、、构成为公差的等差数列.
（1）求证：、、成等比数列；
（2）求数列的通项公式；
（3）设，试问当时，数列是否存在极限？若存在，求出其值，若不存在，请说明理由.

3 . 函数满足，当时，恒成立，又满足：,，设.
（1）在内求实数，使得；
（2）证明：数列是等比数列，并求的表达式以及的值；
（3）是否存在正整数，使得对任意，都有成立，若存在，求出的最小值，若不存在，请说明理由.

4 . 设数列满足：，的前n项和为.
（1）设，求证：数列是等比数列；
（2）求；
（3）求.

5 . 已知数列的前n项之和满足.
（1）求证：是公比为的等比数列；
（2）求适合的r的取值范围.

6 . 已知：函数，数列对，总有；
（1）求的通项公式；
（2）设是数列的前项和，且，求的取值范围；
（3）若数列满足：①为的子数列（即中每一项都是的项，且按在中的顺序排列）；②为无穷等比数列，它的各项和为，这样的数列是否存在？若存在，求出所有符合条件的数列.写出它的通项公式，并证明你的结论；若不存在，说明理由.

7 . 某公司全年的纯利润为元,其中一部分作为奖金发给位职工,奖金分配方案如下首先将职工工作业绩(工作业绩均不相同)从大到小,由1到排序,第1位职工得奖金元,然后再将余额除以发给第2位职工,按此方法将奖金逐一发给每位职工,并将最后剩余部分作为公司发展基金.
(1)设为第位职工所得奖金额,试求并用和表示(不必证明)；
(2)证明并解释此不等式关于分配原则的实际意义；
(3)发展基金与和有关,记为对常数,当变化时,求.(可用公式)

8 . 已知数列满足，.
（1）求，，，的值；
（2）猜想的通项公式，并用数学归纳法证明；
（3）已知，设，记，求.

9 . 已知等差数列，公差，前项和为，且满足．
（1）求数列的通项公式及前项和为；
（2）设，
①求证是等差数列．
②求数列的前项和．
③求．

10 . 已知一列非零向量满足：，，其中是正数
（1）求数列的通项公式；
（2）求证：当时，向量与的夹角为定值；
（3）当时，把中所有与共线的向量按原来的顺序排成一列，记为，令，为坐标原点，求点列的极限点的坐标.（注：若点坐标为，且，则称点为点列的极限点）