1 . 已知数列满足：，，.
（1）求的值；
（2）设，求证：数列是等比数列，并求出其通项公式；
（3）对任意的，，在数列中是否存在连续的项构成等差数列？若存在，写出这项，并证明这项构成等差数列：若不存在，请说明理由.

2 . 已知数列满足，其中，.
(1)求，，，并猜想的表达式（不必写出证明过程）；
(2)设，数列的前项和为，求证：.

3 . 已知数列{a_n}满足a₁＝，前n项和S_n＝a_n.
(1)求a₂，a₃，a₄的值；
(2)猜想a_n的表达式，并用数学归纳法证明.

4 . 已知数列与满足(为非零常数)，.
（1）若是等差数列，求证：数列也是等差数列；
（2）若，求数列的前2021项和；
（3）设，，，若对中的任意两项，，都成立，求实数的取值范围.

5 . 已知数列的首项其中，， 令集合.
（1）若，写出集合中的所有的元素；
（2）若，且数列中恰好存在连续的7项构成等比数列，求的所有可能取值构成的集合；
（3）求证：.

6 . 已知数列的前项和为，且满足：.
（1）求，，的值；
（2）求证：数列是等比数列，并求通项公式；
（3）令，如果对任意，都有，求实数的取值范围.

7 . 在无穷数列中，，、是给定的非零整数.
（1）若，，求；
（2）证明：数列中必存在的项；
（3）证明：数列中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数列.

8 . 无穷数列满足：，且对任意正整数，为前项，，…，中等于的项的个数.
（1）直接写出，，，；
（2）求证：该数列中存在无穷项的值为1；
（3）已知，求.

9 . 已知有穷数列、（），函数.

（1）如果是常数列，，，，在直角坐标系中在画出函数的图象，据此写出该函数的单调区间和最小值，无需证明；
（2）当，（）时，判断函数在区间上的单调性，并说明理由；
（3）当，，时，求该函数的最小值.

10 . 数列满足，且，.规定的通项公式只能用的形式表示.
（1）求的值；
（2）证明3为数列的一个周期，并用正整数表示；
（3）求的通项公式.