1 . 已知数列是等差数列，，记，分别为，的前项和，若，，则_________．

2 . 已知各项均为正数的数列前项和，满足.已知幂函数的对称中心为，若函数，则__________.

3 . 潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为__________.

4 . 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.为了纪念数学家高斯，我们把取整函数，称为高斯函数，其中表示不超过x的最大整数，例如，.已知等差数列满足，，，则____________.

5 . 已知公差大于零的等差数列的前n项和为，且满足，．则数列的通项公式是_______；若数列满足，且为等差数列，则c的值是__________

6 . 数列的首项，且对任意，恒成立，则______．

7 . 已知数列满足，则数列的通项公式为________.

8 . 记为数列的前项的和，已知，是公差为的等差数列．
（1）数列的通项公式是__________
（2）令，记数列的前项和为，除以3的余数是__________

9 . 数列满足：，，；令，则数列的前项和为______.