1 . 某手游公司开发了一款学习类的闯关益智游戏，每一关的难度分别有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ三级，并且下一关的难度与上一关的难度有关，若上一关的难度是Ⅰ或者Ⅱ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，若上一关的难度是Ⅲ，则下一关的难度依次是Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概率分别为，已知第关的难度为Ⅰ．
(1)求第关的难度为Ⅲ的概率；
(2)用表示第关的难度为Ⅲ的概率，求；
(3)设，记，且对任意恒成立，求实数的最大值．

2 . 某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.
(1)求；
(2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值.

3 . 某产品具有一定的时效性，在这个时效期内，由市场调查可知，在不作广告宣传且每件获利元的前提下，可卖出件，若作广告宣传，广告费为千元时比广告费为千元时多卖出件..
（1）求当时，销售量，与时，销售量；
（2）试写出当广告费为千元时，销售量；
（3）当时，厂家生产多少件这种产品，做几千元广告才能获利最大？

4 . 对于集合，，，，定义.
集合中的元素个数记为，当，称集合具有性质.
（1）已知集合，，写出，的值，并判断集合是否具有性质；
（2）设集合具有性质，判断集合中的三个元素是否能组成等差数列，请说明理由；
（3）若数列是以为首项，2为公比的等比数列. 数列中的前100项：组成的集合记作，将集合中的所有元素从小到大排序，即满足，求.

5 . 已知数列对任意满足．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前项和为，求使得成立的正整数的最小值．