1 . 为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.某同学每天中午都会在食堂提供的两种套餐中选择一种套餐，如果他第1天选择了米饭套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为；如果他第1天选择了面食套餐，那么第2天选择米饭套餐的概率为.已知他开学第1天中午选择米饭套餐的概率为.
(1)求该同学开学第2天中午选择米饭套餐的概率；
(2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为，
（i）证明：为等比数列；
（ii）证明：当时，.

3 . 记为数列的前项和，已知，．
(1)证明数列是等比数列，并求的通项公式；
(2)若，数列的最大项为，求的值．

4 . 设是数列的前项和，已知
(1)求，并证明：是等比数列；
(2)求满足的所有正整数.

5 . 某集团下属公司在2023年的年初有资金万元，根据以往经验，若将其全部投入生产，该公司的每年资金年增长率为.现集团要求该公司从2023年开始，每年年底上缴资金万元，并将剩余资金全部投入下一年生产.设第年年底公司上缴资金后的剩余资金为万元.
(1)求；
(2)若第（为正整数）年年底公司的剩余资金超过万元，求的最小值.

6 . 已知等比数列均为正数，，且，（为的前项和）
(1)求数列的通项公式；
(2)若是数列的前项积，请求出，及当取最大值时对应的的值.

7 . 已知为等差数列，为等比数列，．
(1)求和的通项公式；
(2)令，求数列的前n项和；
(3)记．是否存在实数，使得对任意的，恒有？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

9 . 记实数、中较小者为，例如，，对于无穷数列，记.若对任意均有，则称数列为“趋向递增数列”.
(1)已知数列、的通项公式分别为，，判断数列、是否为“趋向递增数列”？并说明理由；
(2)已知首项为，公比为的等比数列是“趋向递增数列”，求公比的取值范围；
(3)若数列满足、为正实数，且，求证：数列为“趋向递增数列”的必要非充分条件是中没有.

10 . 已知数列是等差数列，是等比数列的前n项和，，，．
(1)求数列，的通项公式；
(2)求的最大值和最小值．