1 . 如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…．
   
(1)求证：为等比数列；
(2)求所有半圆弧长的总和．

2 . 定义：若对任意正整数n，数列的前n项和都为完全平方数，则称数列为“完全平方数列”；特别地，若存在正整数n，使得数列的前n项和为完全平方数，则称数列为“部分平方数列”．
(1)若，求证：为部分平方数列；
(2)若数列的前n项和（t是正整数），那么数列是否为“完全平方数列”？若是，求出t的值；若不是，请说明理由；
(3)试求所有为“完全平方数列”的等差数列的通项公式．

3 . 设数列的前项和为.
(1)若是等比数列，，，求；
(2)若是等差数列，，，若是数列中的项，求所有满足条件的正整数组成的集合；
(3)若数列满足且，是否存在无穷数列，使得？若存在，写出一个这样的无穷数列（不需要证明它满足条件）；若不存在，说明理由.

4 . 设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为．
(1)若，，求数列的前n项和；
(2)若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；
(3)若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，

5 . 已知数列满足.
(1)当时，求证：数列不可能是常数列；
(2)若，求数列的前项的和；
(3)当时，令，判断对任意，是否为正整数，请说明理由.

6 . 将有穷数列中部分项按原顺序构成的新数列称为的一个“子列”，剩余项按原顺序构成“子列”.若{b_n}各项的和与各项的和相等，则称和为数列的一对“完美互补子列”.
(1)若数列为，请问是否存在“完美互补子列”？并说明理由；
(2)已知共100项的等比数列为递减数列，且，公比为q.若存在“完美互补子列”，求证：；
(3)数列满足.设共有对“完美互补子列”，求证：当和时，都存在“完美互补子列”且.

7 . 科学数据证明，当前严重威胁人类生存与发展的气候变化主要是工业革命以来人类活动造成的二氧化碳排放所致．应对气候变化的关键在于“控碳”，其必由之路是先实现碳达峰，而后实现碳中和．2020年第七十五届联合国大会上，我国向世界郑重承诺力争在2030年前实现碳达峰，努力争取在2060年前实现碳中和．2021年全国两会的政府工作报告明确提出要扎实做好碳达峰和碳中和的各项工作，某地为响应国家号召，大力发展清洁电能，根据规划，2021年度火电发电量为8亿千瓦时，以后每年比上一年减少20%，2021年度清洁电能发电量为4亿千瓦时，以后每年比上一年增长25%．
(1)设从2021年开始的年内火电发电总量为亿千瓦时，清洁电能总发电量为亿千瓦时，求，（约定时为2021年）；
(2)从哪一年开始，清洁电能总发电量将会超过火电发电总量？

8 . 数列满足条件：若存在正整数和常数，使得对任意恒成立，则称数列具有性质，也称为类周期数列．
(1)判断数列是否具有性质并说明理由；
(2)数列具有性质，且，前4项成等差，求的前100项和；
(3)若数列既是类周期2数列，也是类周期3数列，求证：为等比数列．

9 . 已知无穷实数列，，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界数列；记，若存在，使得对任意，恒成立，则称为有界变差数列.
（1）已知无穷数列的通项公式为，判断是否为有界数列，是否为有界变差数列，并说明理由；
（2）已知首项为，公比为实数的等比数列为有界变差数列，求的取值范围；
（3）已知两个单调递增的无穷数列和都为有界数列，记，，证明：数列为有界变差数列．