1 . 设自然数，由个不同正整数构成集合，若集合的每一个非空子集所含元素的和构成新的集合，记为集合元素的个数
(1)已知集合，集合，分别求解．
(2)对于集合，若取得最大值，则称该集合为“极异集合”
①求的最大值（无需证明）．
②已知集合是极异集合，记求证：数列的前项和．

2 . 在正项无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等比数列．在无穷数列中，若对任意的，都存在，使得，则称为阶等差数列．
(1)若为1阶等比数列，，求的通项公式及前项和；
(2)若为阶等比数列，求证：为阶等差数列；
(3)若既是4阶等比数列，又是5阶等比数列，证明：是等比数列．

3 . 设有穷数列的所有项之和为，所有项的绝对值之和为，若数列满足下列两个条件，则称其为阶“数列”：①；②.
(1)若2023阶“数列”是递减的等差数列，求；
(2)若阶“数列”是等比数列，求的通项公式（，用表示）；
(3)设阶“数列”的前项和为，若，使得，证明：数列不可能为阶“1数列”.

4 . 对于数列，若存在，使得对任意，总有，则称为“有界变差数列”．
(1)若各项均为正数的等比数列为有界变差数列，求其公比q的取值范围；
(2)若数列满足，且，证明：是有界变差数列；
(3)若，均为有界变差数列，且，证明：是有界变差数列．

5 . 曲线的切线､曲面的切平面在平面几何､立体几何以及解析几何中有着重要的应用，更是联系数学与物理学的重要工具，在极限理论的研究下，导数作为研究函数性质的重要工具，更是与切线有着密不可分的关系，数学家们以不同的方法研究曲线的切线､曲面的切平面，用以解决实际问题：
(1)对于函数，分别在点处作函数的切线，记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”，同理记切线与轴的交点分别为，记为数列的第项，则称数列为函数的“切线轴数列”.
①设函数，记的“切线轴数列”为；
②设函数，记的“切线轴数列”为，
则，求的通项公式.
(2)在探索高次方程的数值求解问题时，牛顿在《流数法》一书中给出了牛顿迭代法：用“作切线”的方法求方程的近似解.具体步骤如下：设是函数的一个零点，任意选取作为的初始近似值，曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，并称为的1次近似值；曲线在点处的切线为，设与轴交点的横坐标为，称为的2次近似值.一般地，曲线在点处的切线为，记与轴交点的横坐标为，并称为的次近似值.已知二次函数有两个不相等的实根，其中.对函数持续实施牛顿迭代法得到数列，我们把该数列称为牛顿数列，令数列满足，且，证明：.（注：当时，恒成立，无需证明）

6 . 已知实数，定义数列如下：如果，，则．
(1)求和（用表示）；
(2)令，证明：；
(3)若，证明：对于任意正整数，存在正整数，使得．

7 . 某网络销售平台每月进行一次经营状况调查，调查结果为销路好或销路差.历史数据表明：如果本月销路好，那么下个月继续保持这种状态的概率为；如果本月销路差，那么下个月变好的概率为.用分别表示第个月销路好和销路差的概率.
(1)若，求，，并证明是等比数列；
(2)证明：无论第一个月销路好还是销路差，经过较长时间的销售之后，销路好的概率都会趋近于常数.

8 . 若一个平面多边形任意一边所在的直线都不能分割这个多边形，则称这样的多边形为凸多边形，凸多边形不相邻两个顶点的连线段称为凸多边形的对角线．用表示凸边形对角线的条数．
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列的前n项和为，求数列的前n项和，并证明．

9 . “数”在量子代数研究中发挥了重要作用.设是非零实数，对任意，定义“数”利用“数”可定义“阶乘”和“组合数”，即对任意，
(1)计算：；
(2)证明：对于任意，
(3)证明：对于任意，

10 . 已知，且，函数.
(1)记为数列的前项和.证明：当时，；
(2)若，证明：；
(3)若有3个零点，求实数的取值范围.