1 . 正三棱柱的底面边长为1，侧棱长为2，一只蚂蚁从点出发，每次沿着该三棱柱的一条棱的端点爬行到另一个端点，若它选择三个方向爬行的概率相等，且每次爬行都相互独立.
(1)记这只蚂蚁经过4次爬行后，其爬行的总路程为，求的分布列和数学期望；
(2)求这只蚂蚁经过5次爬行后，停留在平面内的概率.

2 . 已知一个质点沿正四面体的棱做匀速运动，每秒钟都等可能地从正四面体的一个顶点运动到另一个顶点，且顶点是该质点的初始位置．
(1)若该质点第1秒运动到顶点，则第4秒运动到顶点的不同运动路线有多少条？
(2)设该质点在3秒内经过顶点的次数为，求的分布列与数学期望；
(3)设该质点第秒恰好在顶点处的概率为，求数列的通项公式．

3 . 京都议定书正式生效后，全球碳交易市场出现了爆炸式的增长．某林业公司种植速生林木参与碳交易，到2022年年底该公司速生林木的保有量为200万立方米，速生林木年均增长率20%，为了利于速生林木的生长，计划每年砍伐17万立方米制作筷子．设从2023年开始，第年年底的速生林木保有量为万立方米．
(1)求，请写出一个递推公式表示与之间的关系；
(2)是否存在实数，使得数列为等比数列，如果存在求出实数；
(3)该公司在接下来的一些年里深度参与碳排放，若规划速生林木保有量实现由2022年底的200万立方米翻两番，则至少到哪一年才能达到公司速生林木保有量的规划要求？
（参考数据：，，，）

4 . 一只LED灯能闪烁红、黄、蓝三种颜色的光，受智能程序控制每隔1秒闪一次光，相邻两次闪光的颜色不相同.若某次闪红光，则下次有的概率闪黄光；若某次闪黄光，则下次有的概率闪蓝光；若某次闪蓝光，则下次有的概率闪红光.已知第1次闪光为红光.
(1)求第4次闪光为红光的概率；
(2)求第次闪光为红光的概率.

5 . 若数列满足：存在等比数列，使得集合元素个数不大于，则称数列具有性质.如数列，存在等比数列，使得集合，则数列具有性质.若数列满足，，记数列的前项和为.证明：
(1)数列为等比数列；
(2)数列具有性质.

6 . 已知点，，设，当时，线段的中点为，关于直线的对称点为.例如，为线段的中点，则，.
(1)设，证明：是等比数列.
(2)求数列的通项公式.

7 . 如图，已知直角三角形的两直角边和的长分别为5和12，直角三角形的斜边所在的直线与以、、…、、…为圆心，且依次外切的半圆都相切，其中半圆与边所在的直线相切，半圆圆心都在边上，半径分别为、、…、、…．
   
(1)求证：为等比数列；
(2)求所有半圆弧长的总和．

8 . 已知，是项数相同的等比数列，求证：也是等比数列．

9 . ，，递增数列前项和为．
(1)证明：为等比数列并求；
(2)记，为使成立的最小正整数，求．

10 . 某工厂引进新设备，随着员工对新设备的了解及熟悉，该设备每天生产的零件数量比前一天增加20%．已知该设备第一天生产某种零件1000件，且该设备每天最多可以生产该零件5000件．记第一天该设备生产的零件数量为件，第n天生产的零件数量为件．
(1)求该设备第二天和第三天的总产量；
(2)求至少需要几天，该设备每天生产的数量才能达到该设备的最大产能？（参考数据：取，）