1 . 已知数列的首项为1，为数列的前n项和，，其中，.
(1)若成等差数列，求的通项公式；
(2)设双曲线的离心率为，且，求数列的通项公式

2 . 已知数列中，，.
(1)求证：是等比数列，并求的通项公式；
(2)数列满足，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

3 . 已知数列中，，.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)数列满足的，数列的前项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围.

4 . 某学校餐厅每天供应名学生用餐，每星期一有、两种菜可供选择.调查表明，凡是在这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜；而这星期一选菜的学生，下星期一会有改选菜.用、分别表示第个星期一选菜的人数和选菜的人数.
（1）试用（且）表示，并判断数列是否为等比数列，请说明理由；
（2）若第个星期一选菜的有名学生，则第个星期一选菜的大约有多少名学生？

5 . 已知各项均为正数的数列满足，，，.
（1）证明：数列为等比数列；
（2）记，证明数列为等差数列，并求数列的前项和.

6 . 数列中，，（）
（1）设，求证：是等比数列；
（2）设数列的前项积为，求取得最大值时的取值．

7 . 已知数列的前项和为，且.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，求的前项和.

8 . 已知数列满足，且对于任；都有．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．

9 . 已知数列满足，．
(1)求，；
(2)设，求证：数列是等比数列，并求其通项公式；
(3)已知，求证：．

10 . 设数列满足，其中.
（1）证明：是等比数列；
（2）令，设数列的前项和为，求使成立的最大自然数的值.