1 . 各项为正数的数列如果满足：存在实数，对任意正整数n，恒成立，且存在正整数n，使得或成立，则称数列为“紧密数列”，k称为“紧密数列”的“紧密度”．已知数列的各项为正数，前n项和为，且对任意正整数n，（A，B，C为常数）恒成立．
（1）当，，时，
①求数列的通项公式；
②证明数列是“紧密度”为3的“紧密数列”；
（2）当时，已知数列和数列都为“紧密数列”，“紧密度”分别为，，且，，求实数B的取值范围．

2 . 若各项均为正数的数列满足（为常数），则称为“比差等数列”.已知为“比差等数列”，且.
(1)求的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.

3 . 设数列的前项和为，，，若，则正整数的值为（     ）

A．2024

B．2023

C．2022

D．2021

4 . 已知数列的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列.设数列的前n项和为且满足
（1）求数列的通项公式；
（2）若求正整数的值；
（3）是否存在正整数，使得恰好为数列的一项？若存在，求出所有满足条件的正整数；若不存在，请说明理由.

5 . 记数列的前项和为，已知数列满足.
（1）若数列为等比数列，求的值；
（2）证明：.

6 . 设为数列的前项和，，且，则_.

7 . 已知函数的定义域为实数集，及整数、；
（1）若函数，证明；
（2）若，且（其中为正的常数），试证明：函数为周期函数；
（3）若，且当时，，记，求使得小于1000都成立的最大整数.

8 . 已知数列满足，且.
求证：；
令，且，试求无穷数列所有项的和；
对于，求证：

9 . 设数列的前n项和为,且,
(1)求､､的值,并求出及数列的通项公式;
(2)设求数列的前n项和
(3)设在数列中取出(为常数)项,按照原来的顺序排成一列,构成等比数列.若对任意的数列,均有试求的最小值.

10 . 已知数列的前项和满足：（为常数，且，）．
（1）求的通项公式；
（2）设，若数列为等比数列，求的值；
（3）在满足条件（2）的情形下，设，数列的前项和为，若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围．