1 . 已知函数，若在定义域内存在，使得成立，则称为函数的局部对称点．
（1）若，证明：函数必有局部对称点；
（2）若函数在区间内有局部对称点，求实数的取值范围；
（3）若函数在上有局部对称点，求实数的取值范围．

2 . 已知函数.
(1)请用分段函数的形式表示，并写出单调区间（不需证明）
(2)若，求实数的取值范围.

3 . 设函数，函数
(1)当时，解关于的不等式：；
(2)若且，已知函数有两个零点和，若点，，其中是坐标原点，证明：与不可能垂直．

4 . 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：
①在上是单调函数；
②当定义域是时，的值域也是．
则称是该函数的“等域区间”．
(1)求证：函数不存在“等域区间”；
(2)已知函数（，）有“等域区间”，求实数的取值范围．

5 . 设与分别是实系数方程和的一个根，且，求证：方程有仅有一根介于和之间．

6 . 已知：定义在R上的函数，对于任意实数a, b都满足，且，当．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）证明在上是增函数；
（Ⅲ）求不等式的解集.

7 . 已知函数．
（Ⅰ）关于x的不等式的解集为，且，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数，使得当时，成立．若存在给出证明，若不存在说明理由.

8 . 已知函数．若不等式的解集为．
(1)求的值及的值域；
(2)已知，若，证明：．

9 . （1）已知，求证：；
（2）若实数x，y满足，求的取值范围.

10 . （1）已知，，证明：.
（2）求关于x的不等式的解集.