1 . 已知，我们知道成立.
（1）求证：；
（2）同理我们也可以证明出.由上述几个不等式，请你猜测一个与和有关的不等式，并用数学归纳法证明.

2 . 已知圆C：．
（1）求圆的圆心C的坐标和半径长；
（2）直线l经过坐标原点且不与y轴重合，l与圆C相交于两点，求证：为定值；
（3）斜率为1的直线m与圆C相交于D、E两点，求直线m的方程，使的面积最大．

3 . 已知函数，．
（1）求的最大值m；
（2）若，，且，求证：．

4 . 已知定义在上的函数.
（1）判断的奇偶性并证明；
（2）已知不等式，对所有恒成立，求关于的函数的最小值.

5 . 如图（1），边长为的正方形中，，分别为、上的点，且，现沿把剪切、拼接成如图（2）的图形，再将，，沿，，折起，使、、三点重合于点，如图（3）.

（1）求证：；
（2）求二面角最小时的余弦值.

6 . （1）已知，求证：.
（2）已知，当取什么值时，的值最小？最小值是多少？

7 . 已知，且．
（1）求证：；
（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围．

8 . 分别解答下列两题：
（1）已知，求的最大值．
（2）已知，求证：.