1 . 如图，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为______.

2 . 已知为所在平面外一点，是中点，是上一点．若平面，则的值为_________________．

3 . 如图，棱长为2的正方体中，，分别是线段和上的动点.对于下列四个结论：

   

①存在无数条直线平面；
②线段长度的取值范围是；
③三棱锥的体积最大值为；
④设，分别为线段和上的中点，则线段的垂直平分线与底面的交点构成的集合是圆.
则其中正确的命题有______.

5 . 如图所示，在棱长为1的正方体中，设分别是线段、上的动点，若平面，则线段长的最小值为__________．

6 . 如图，在正四棱柱中，底面是正方形，且，，经过顶点A和各作一个平面与平面平行，前者与平面交于，后者与平面交于，则异面直线与所成角的余弦值为______.

7 . 如图，三棱锥中，且为正三角形，分别是的中点，若截面侧面，则此棱锥侧面与底面夹角的余弦值为__________.

8 . 如图，在长方体中，，，M，N分别为BC，的中点，点P在矩形内运动（包括边界），若平面AMN，则取最小值时，三棱锥的体积为______．

9 . 如图，正方体的棱长为1，点是线段的中点，点是正方形所在平面内一动点，若平面，则点轨迹在正方形内的长度为________.

   

10 . 在正方体中，，，分别是，，的中点.给出下列四个推断：

   

①平面；②平面；
③平面；④平面平面，
其中推断正确的序号是______.