1 . 如图，有一个正方形为底面的正四棱锥，各条边长都是1；另有一个正三角形为底面的正三棱锥，各条边长也都是1.

(1)在四棱锥中，求与平面所成角的正弦值，并求二面角的平面角的正弦值；
(2)现把它俩其中的两个三角形表面用胶水黏合起来，如黏合面和面.试问：由此而得的组合体有几个面？请说明理由.

2 . 已知正三棱锥ABCD中，底面正的边长为，是的中点，在上取一点，使，、的中点分别为、，过作截面平行于，与交于，，求截面与底面所成二面角的大小．

3 . 如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．

请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：

设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．

4 . 已知三棱锥，则下列论述正确的是（       ）

A．若点S在平面内的射影点为的外心，则

B．若点S在平面内的射影点为A，则平面与平面所成角的余弦值为

C．若，点S在平面内的射影点为的中点，则四点一定在以为球心的球面上

D．若四点在以的中点为球心的球面上，且S在平面内的射影点的轨迹为线段（不包含两点），则点S在球的球面上的轨迹为圆

5 . 如图，设与为两个正四棱锥，且，点P在线段AC上，且．
   
(1)记二面角，的大小分别为，，求的值；
(2)记EP与FB所成的角为，求的最大值．

6 . 半径为2的球上有三个点，，，，三棱锥的顶角均为锐角，二面角的平面角为，为边上一动点，则（       ）

A．若，则

B．若，则

C．若的最小值等于，则三棱锥体积最小为

D．若的最小值等于，则三棱锥体积最小为

7 . 如图，两两互相垂直，三棱锥是正四面体，则下列结论正确的是（       ）
   

A．二面角的大小为

B．

C．若的中心为，则三点共线

D．三棱锥的外接球过点

8 . 一个圆柱沿着轴截面截去一半，得到一个如图所示的几何体．已知四边形MNPQ是边长为2的正方形，点E为半圆弧上一动点（点E与点P，Q不重合），则（       ）
   

A．三棱锥体积的最大值为

B．存在点E，使得

C．当点E为上的三等分点时，二面角的正切值为

D．当点E为的中点时，四棱锥外接球的体积为

9 . 如图，在正四棱柱中，底面边长，侧棱长，为底面内的动点，且与所成角为，则下列命题正确的是（       ）
   

A．动点的轨迹长度为

B．当//平面时，与平面的距离为

C．直线与底面所成角的最大值为

D．二面角的范围是

10 . 地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．
   
(1)太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
(2)若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？