1 . 如图，有一个正方形为底面的正四棱锥，各条边长都是1；另有一个正三角形为底面的正三棱锥，各条边长也都是1.

(1)在四棱锥中，求与平面所成角的正弦值，并求二面角的平面角的正弦值；
(2)现把它俩其中的两个三角形表面用胶水黏合起来，如黏合面和面.试问：由此而得的组合体有几个面？请说明理由.

2 . 已知正三棱锥ABCD中，底面正的边长为，是的中点，在上取一点，使，、的中点分别为、，过作截面平行于，与交于，，求截面与底面所成二面角的大小．

3 . 如图，平面是的一条斜线，是在平面内的射影，为斜线和平面所成的角．设，过作的垂线，连结，则，且即为二面角的平面角（锐二面角），设．

请推导关于的等式关系（1）；关于的等式关系（2）．并用上述两结论求解下题：

设和所在的两个平面互相垂直，且，求二面角的正弦值的大小．

4 . 已知正四棱锥的条棱长均相等，为顶点在底面内的射影，则（       ）

A．侧棱与底面所成的角的大小为

B．侧面与底面所成的角的大小为

C．设是正方形边上的点，则直线与底面所成角的最大值是

D．设是正方形边上的两点，则二面角的值大于

5 . 已知三棱锥，则下列论述正确的是（       ）

A．若点S在平面内的射影点为的外心，则

B．若点S在平面内的射影点为A，则平面与平面所成角的余弦值为

C．若，点S在平面内的射影点为的中点，则四点一定在以为球心的球面上

D．若四点在以的中点为球心的球面上，且S在平面内的射影点的轨迹为线段（不包含两点），则点S在球的球面上的轨迹为圆

6 . 如图，设与为两个正四棱锥，且，点P在线段AC上，且．
   
(1)记二面角，的大小分别为，，求的值；
(2)记EP与FB所成的角为，求的最大值．

7 . 地球自西向东自转，造成了太阳每天东升西落运动．因这种现象是地球自转造成的人的视觉效果，所以天文学上把这种运动称为太阳周日视运动，其实质是地球自转的一种反映．研究太阳周日视运动轨迹对分析地球气候、计算当地日出日落时间、理解昼夜长短变化现象、设计建筑物日照时长等有重要意义．太阳周日视运动轨迹与太阳直射地球点有关，也与观测者当地的纬度有关．下图为春分（或秋分）日北纬某地（如我国哈尔滨、松原、鸡西等地区）的太阳周日视运动轨迹图，为当地观测者位置，圆平面是观测者所在的地平面．直线为天轴，其垂直于太阳视运动轨迹所在圆平面，且与直线在同一圆面上．两直线和相交于点，夹角为．太阳早上从正东方点的地平面升起，中午处于天空最高点，傍晩从正西方点处落入地平面．

   

(1)太阳视运动轨迹所在圆平面与地平面所成锐二面角的平面角为多少？
(2)若图上点为下午太阳所在位置，此时阳光入射当地地平面的角度（即直线与地平面的夹角）为多少？

8 . 小明对圆柱中的截面进行一番探究.他发现用平行于底面的平面去截圆柱可得一圆面，用与水平面成一定夹角的平面去截可得一椭圆面，用过轴的平面去截可得一矩形面.
   
(1)图1中，圆柱底面半径为，高为2，轴截面为，设为底面（包括边界）上一动点，满足到的距离等于到直线的距离，求三棱锥体积的最大值；
(2)如图2，过圆柱侧面上某一定点的水平面与侧面交成为圆，过点与水平面成角的平面与侧面交成为椭圆，小明沿着过的母线剪开，把圆柱侧面展到一个平面上，发现圆展开后得到线段，椭圆展开后得到一正弦曲线（如图3），设为椭圆上任意一点，他很想知道原因，于是他以为原点，为轴建立了平面直角坐标系，且设（图3）.试说明为什么椭圆展开后是正弦曲线，并写出其函数解析式.

9 . 两个相交平面构成四个二面角，其中较小的二面角称为这两个相交平面所成角；在正方体中，不在同一表面上的两条平行的棱所确定的平面称为该正方体的对角面.则在某正方体中，两个不重合的对角面所成角的大小可能为（       ）

A．

B．

C．

D．

10 . 已知四棱锥的底面为梯形，且，又，，，平面平面，平面平面．

   

(1)判断直线和的位置关系，并说明理由；
(2)若点到平面的距离为，请从下列①②中选出一个作为已知条件，求二面角余弦值大小．

①；

②为二面角的平面角．